問題は、底面が合同な円錐と円柱を組み合わせた立体に関するものです。 (1) 図1の立体の展開図として最も適切なものを選ぶ。 (2) 図2において、∠ABC の大きさを求める。 (3) AP=12cm のとき、図1の立体の体積を求める。

1. 問題の内容

問題は、底面が合同な円錐と円柱を組み合わせた立体に関するものです。

(1) 図1の立体の展開図として最も適切なものを選ぶ。

(2) 図2において、∠ABC の大きさを求める。

(3) AP=12cm のとき、図1の立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 立体の展開図

円錐の展開図は扇形、円柱の側面は長方形、底面は円です。図1の立体は、円錐の頂点が円柱の底面と接しているので、アが正しいと考えられます。

(2) ∠ABCの大きさ

点Oは線分APの中点なので、円Oの半径を $r$ とすると、AP=$2r$です。また、線分APの長さは円Oの直径と等しいので、$AP = 2r$です。

図2において、BCは円柱の底面と垂直なので、∠BCO=90°です。

ABは円Oの直径なので、$AB=2r$となります。また$BC=OP=r$なので、三角形ABCにおいて、$BC=r$、$AB=2r$、$∠BCO=90°$となります。

したがって、$sin∠BAC = \frac{BC}{AB} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$となります。

よって、$∠BAC=30°$、$∠ABC = 90°-30° = 60°$となります。

(3) 立体の体積

AP=12cmなので、円Oの半径は $r = \frac{12}{2} = 6$cm。

円柱の高さは $OP = r = 6$cm。

円錐の高さは $AO = r = 6$cm。

円柱の体積は $V_{柱} = \pi r^2 h = \pi \times 6^2 \times 6 = 216\pi$ cm$^3$

円錐の体積は $V_{錐} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \times 6^2 \times 6 = 72\pi$ cm$^3$

立体の体積は $V = V_{柱} + V_{錐} = 216\pi + 72\pi = 288\pi$ cm$^3$

3. 最終的な答え

(1) ア

(2) 60度

(3) $288\pi$ cm$^3$