一辺の長さが $\sqrt{3}$ の正四面体 $ABCD$ において、辺 $BC$ の中点を $M$ とする。 このとき、以下のものを求めよ。 (1) $AM$ の長さ (2) $\cos{\angle AMD}$ の値 (3) $\triangle AMD$ の面積

1. 問題の内容

一辺の長さが $\sqrt{3}$ の正四面体 $ABCD$ において、辺 $BC$ の中点を $M$ とする。

このとき、以下のものを求めよ。

(1) $AM$ の長さ

(2) $\cos{\angle AMD}$ の値

(3) $\triangle AMD$ の面積

2. 解き方の手順

(1) $AM$ の長さを求める。

$\triangle ABC$ は正三角形なので、$AM$ は $\triangle ABC$ の中線であり、かつ高さである。

よって、$AM = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3} = \frac{3}{2}$

(2) $\cos{\angle AMD}$ の値を求める。

$MD = AM = \frac{3}{2}$ であり、$AD = \sqrt{3}$ である。

$\triangle AMD$ において余弦定理を用いると、

$AD^2 = AM^2 + MD^2 - 2 \times AM \times MD \times \cos{\angle AMD}$

$(\sqrt{3})^2 = (\frac{3}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 - 2 \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \times \cos{\angle AMD}$

$3 = \frac{9}{4} + \frac{9}{4} - \frac{9}{2} \cos{\angle AMD}$

$3 = \frac{9}{2} - \frac{9}{2} \cos{\angle AMD}$

$-\frac{3}{2} = -\frac{9}{2} \cos{\angle AMD}$

$\cos{\angle AMD} = \frac{1}{3}$

(3) $\triangle AMD$ の面積を求める。

$\sin^2{\angle AMD} + \cos^2{\angle AMD} = 1$ より

$\sin^2{\angle AMD} = 1 - \cos^2{\angle AMD} = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin{\angle AMD} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ (∵ $\angle AMD$ は三角形の内角なので正)

$\triangle AMD = \frac{1}{2} \times AM \times MD \times \sin{\angle AMD}$

$= \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$= \frac{1}{2} \times \frac{9}{4} \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $AM = \frac{3}{2}$

(2) $\cos{\angle AMD} = \frac{1}{3}$

(3) $\triangle AMD = \frac{3\sqrt{2}}{4}$