2つの円 $C_1: x^2 + y^2 = 1$ と $C_2: x^2 + (y-a)^2 = \frac{a^2}{4}$ が異なる2点で交わり、そのうちx座標が正である交点をPとする。ただし、$a$ は正の定数である。 (1) $a$ がとりうる値の範囲を求める。 (2) 点Pの座標を $(\cos\theta, \sin\theta)$ とおく。円 $C_1$ 上のPにおける $C_1$ の接線を $l_1$、円 $C_2$ 上のPにおける $C_2$ の接線を $l_2$ とする。$l_1$ と $l_2$ をそれぞれ $\theta$ と $a$ を用いた方程式で表す。 (3) (2) の $l_1$ と $l_2$ が直交するとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つの円 $C_1: x^2 + y^2 = 1$ と $C_2: x^2 + (y-a)^2 = \frac{a^2}{4}$ が異なる2点で交わり、そのうちx座標が正である交点をPとする。ただし、$a$ は正の定数である。

(1) $a$ がとりうる値の範囲を求める。

(2) 点Pの座標を $(\cos\theta, \sin\theta)$ とおく。円 $C_1$ 上のPにおける $C_1$ の接線を $l_1$、円 $C_2$ 上のPにおける $C_2$ の接線を $l_2$ とする。$l_1$ と $l_2$ をそれぞれ $\theta$ と $a$ を用いた方程式で表す。

(3) (2) の $l_1$ と $l_2$ が直交するとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

2つの円 $C_1$ と $C_2$ が異なる2点で交わる条件は、中心間の距離が2つの円の半径の和よりも小さく、差よりも大きいことである。

$C_1$ の中心は $(0, 0)$、半径は $1$ である。

$C_2$ の中心は $(0, a)$、半径は $\frac{a}{2}$ である。

中心間の距離は $|0 - a| = |a| = a$ （$a$ は正より）。

交わる条件は $1 - \frac{a}{2} < a < 1 + \frac{a}{2}$ である。

$1 - \frac{a}{2} < a$ より $1 < \frac{3a}{2}$ 、したがって $a > \frac{2}{3}$ 。

$a < 1 + \frac{a}{2}$ より $\frac{a}{2} < 1$ 、したがって $a < 2$ 。

よって $\frac{2}{3} < a < 2$。

(2)

$C_1$ の点Pにおける接線 $l_1$ の方程式は $\cos\theta \cdot x + \sin\theta \cdot y = 1$ である。

$C_2$ の方程式は $x^2 + (y - a)^2 = \frac{a^2}{4}$ である。点P $(\cos\theta, \sin\theta)$ を通る。

$C_2$ の中心は $(0, a)$。

$C_2$ の点Pにおける接線 $l_2$ は、円の中心と点Pを結ぶ直線に垂直である。

円の中心と点Pを結ぶ直線の傾きは $\frac{\sin\theta - a}{\cos\theta}$。

よって接線 $l_2$ の傾きは $-\frac{\cos\theta}{\sin\theta - a}$。

接線 $l_2$ の方程式は $y - \sin\theta = -\frac{\cos\theta}{\sin\theta - a} (x - \cos\theta)$ である。

$(\sin\theta - a)(y - \sin\theta) = -\cos\theta (x - \cos\theta)$

$\cos\theta \cdot x + (\sin\theta - a) y = \cos^2\theta + \sin^2\theta - a\sin\theta$

$\cos\theta \cdot x + (\sin\theta - a) y = 1 - a\sin\theta$

(3)

$l_1$ と $l_2$ が直交するので、それぞれの傾きの積が $-1$ である。

$l_1$ の傾きは $-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$。

$l_2$ の傾きは $-\frac{\cos\theta}{\sin\theta - a}$。

$\left(-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right) \left(-\frac{\cos\theta}{\sin\theta - a}\right) = -1$

$\frac{\cos^2\theta}{\sin\theta(\sin\theta - a)} = -1$

$\cos^2\theta = -\sin\theta(\sin\theta - a)$

$\cos^2\theta = -\sin^2\theta + a\sin\theta$

$\cos^2\theta + \sin^2\theta = a\sin\theta$

$1 = a\sin\theta$

$\sin\theta = \frac{1}{a}$

点P $(\cos\theta, \sin\theta)$ は $C_2$ 上にあるので、$\cos^2\theta + (\sin\theta - a)^2 = \frac{a^2}{4}$ を満たす。

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \frac{1}{a^2}$

$1 - \frac{1}{a^2} + (\frac{1}{a} - a)^2 = \frac{a^2}{4}$

$1 - \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^2} - 2 + a^2 = \frac{a^2}{4}$

$-1 + a^2 = \frac{a^2}{4}$

$\frac{3a^2}{4} = 1$

$a^2 = \frac{4}{3}$

$a = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ ($a > 0$ より)

$\frac{2}{3} < a < 2$ を満たすか確認する。

$\frac{2}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{5.196...}$

$a = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx \frac{2 \cdot 1.732}{3} = \frac{3.464}{3} \approx 1.155$

$\frac{2}{3} < \frac{2\sqrt{3}}{3} < 2$ は正しい。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3} < a < 2$

(2) $l_1: \cos\theta \cdot x + \sin\theta \cdot y = 1$

$l_2: \cos\theta \cdot x + (\sin\theta - a) y = 1 - a\sin\theta$

(3) $a = \frac{2\sqrt{3}}{3}$