直角三角形ABCにおいて、∠B = 90°である。点D, E, Fはそれぞれ三角形ABCの外心、内心、重心のいずれかである。 (i) 外心、内心、重心がそれぞれD, E, Fのどれであるか答えよ。 (ii) (i)の答えが外心となる理由を答えよ。
2025/6/3
1. 問題の内容
直角三角形ABCにおいて、∠B = 90°である。点D, E, Fはそれぞれ三角形ABCの外心、内心、重心のいずれかである。
(i) 外心、内心、重心がそれぞれD, E, Fのどれであるか答えよ。
(ii) (i)の答えが外心となる理由を答えよ。
2. 解き方の手順
(i) 外心、内心、重心の特定
* 外心：三角形の外接円の中心であり、直角三角形の場合、斜辺の中点に位置する。図から、点Dが斜辺ACの中点にあるように見えるため、点Dが外心である。
* 重心：三角形の中線の交点である。中線は頂点とその対辺の中点を結ぶ線である。図から、点Fが三角形の内部にあり、重心の位置として妥当である。
* 内心：三角形の内接円の中心であり、角の二等分線の交点である。三角形の内部にあり、外心や重心よりも頂点に近い位置にある。図から、点Eが内心の位置として妥当である。
(ii) 外心となる理由
直角三角形の外心は斜辺の中点にあるという性質がある。点Dは斜辺ACの中点にあるため、外心である。
3. 最終的な答え
(i) ①外心：D, ②内心：E, ③重心：F
(ii) 直角三角形の外心は、斜辺の中点に位置するため。