点A(0,5)から円 $x^2 + y^2 = 9$ に引いた接線の方程式と、接点の座標を求める。

1. 問題の内容

点A(0,5)から円 $x^2 + y^2 = 9$ に引いた接線の方程式と、接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

円 $x^2 + y^2 = 9$ 上の接点を(s, t)とおく。

この点における接線の方程式は $sx + ty = 9$ と表せる。

この接線が点A(0,5)を通るから、

$s * 0 + t * 5 = 9$

$5t = 9$

$t = \frac{9}{5}$

また、接点(s, t)は円 $x^2 + y^2 = 9$ 上の点であるから、

$s^2 + t^2 = 9$

$s^2 + (\frac{9}{5})^2 = 9$

$s^2 = 9 - \frac{81}{25} = \frac{225 - 81}{25} = \frac{144}{25}$

$s = \pm \frac{12}{5}$

よって、接点は$(\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$と$(-\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$である。

$(\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$における接線は

$\frac{12}{5} x + \frac{9}{5} y = 9$

$12x + 9y = 45$

$4x + 3y = 15$

$(-\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$における接線は

$-\frac{12}{5} x + \frac{9}{5} y = 9$

$-12x + 9y = 45$

$-4x + 3y = 15$

したがって、接線の方程式は $4x + 3y = 15$ と $-4x + 3y = 15$

3. 最終的な答え

接線の方程式は $4x + 3y = 15$ , $-4x + 3y = 15$

接点の座標は $(\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$, $(-\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$