三角形ABCの面積を、与えられた3辺の長さから求める問題です。2つの小問があり、(1)では $a=5$, $b=7$, $c=8$、(2)では $a=2$, $b=3$, $c=4$ となっています。

## 問題の解答

1. 問題の内容

三角形ABCの面積を、与えられた3辺の長さから求める問題です。2つの小問があり、(1)では $a=5$, $b=7$, $c=8$、(2)では $a=2$, $b=3$, $c=4$ となっています。

2. 解き方の手順

ヘロンの公式を利用して三角形の面積を求めます。ヘロンの公式は、三角形の3辺の長さ $a, b, c$ が分かっているときに、面積 $S$ を

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

で求めることができるというものです。ここで、$s$ は半周長と呼ばれ、

$s = \frac{a+b+c}{2}$

で計算されます。

(1) $a=5$, $b=7$, $c=8$ の場合

まず、半周長 $s$ を計算します。

$s = \frac{5+7+8}{2} = \frac{20}{2} = 10$

次に、ヘロンの公式を用いて面積 $S$ を計算します。

$S = \sqrt{10(10-5)(10-7)(10-8)} = \sqrt{10 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$

(2) $a=2$, $b=3$, $c=4$ の場合

まず、半周長 $s$ を計算します。

$s = \frac{2+3+4}{2} = \frac{9}{2}$

次に、ヘロンの公式を用いて面積 $S$ を計算します。

$S = \sqrt{\frac{9}{2}(\frac{9}{2}-2)(\frac{9}{2}-3)(\frac{9}{2}-4)} = \sqrt{\frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{135}{16}} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $10\sqrt{3}$

(2) $\frac{3\sqrt{15}}{4}$