3点 A(1, 1), B(5, -1), C(-3, -7) を通る円の方程式を求める。

1. 問題の内容

3点 A(1, 1), B(5, -1), C(-3, -7) を通る円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

円の方程式を $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおく。

この円が点 A, B, C を通るので、それぞれの点の座標を代入する。

点 A(1, 1) を代入すると、

$1^2 + 1^2 + l \cdot 1 + m \cdot 1 + n = 0$

$2 + l + m + n = 0$

$l + m + n = -2$ (1)

点 B(5, -1) を代入すると、

$5^2 + (-1)^2 + l \cdot 5 + m \cdot (-1) + n = 0$

$25 + 1 + 5l - m + n = 0$

$5l - m + n = -26$ (2)

点 C(-3, -7) を代入すると、

$(-3)^2 + (-7)^2 + l \cdot (-3) + m \cdot (-7) + n = 0$

$9 + 49 - 3l - 7m + n = 0$

$-3l - 7m + n = -58$ (3)

(2) - (1) より、

$(5l - m + n) - (l + m + n) = -26 - (-2)$

$4l - 2m = -24$

$2l - m = -12$ (4)

(3) - (1) より、

$(-3l - 7m + n) - (l + m + n) = -58 - (-2)$

$-4l - 8m = -56$

$l + 2m = 14$ (5)

(4)より、

$m = 2l + 12$ (6)

(6)を(5)に代入すると、

$l + 2(2l + 12) = 14$

$l + 4l + 24 = 14$

$5l = -10$

$l = -2$

$l = -2$ を (6) に代入すると、

$m = 2(-2) + 12 = -4 + 12 = 8$

$l = -2$, $m = 8$ を (1) に代入すると、

$-2 + 8 + n = -2$

$6 + n = -2$

$n = -8$

よって、円の方程式は $x^2 + y^2 - 2x + 8y - 8 = 0$ となる。

変形して、

$(x - 1)^2 - 1 + (y + 4)^2 - 16 - 8 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 25$

3. 最終的な答え

$(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 25$

あるいは

$x^2 + y^2 - 2x + 8y - 8 = 0$