直角三角形ABCにおいて、点PはAからBへ毎秒3cmで、点QはCからBへ毎秒2cmで移動します。点Pと点Qが同時に出発するとき、三角形PBQの面積が12 cm$^2$になるのは、出発してから何秒後かを求める問題です。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、点PはAからBへ毎秒3cmで、点QはCからBへ毎秒2cmで移動します。点Pと点Qが同時に出発するとき、三角形PBQの面積が12 cm$^2$になるのは、出発してから何秒後かを求める問題です。

2. 解き方の手順

* 出発してからの時間を$t$秒とします。

* $t$秒後のAPの長さは$3t$ cm、CQの長さは$2t$ cmとなります。

* PBの長さはAB - AP = 18 - 3t cmとなります。

* BQの長さはBC - CQ = 12 - 2t cmとなります。

* 三角形PBQの面積は、$1/2 \times PB \times BQ$で表されます。

* 三角形PBQの面積が12 cm$^2$なので、以下の式が成り立ちます。

$\frac{1}{2} (18 - 3t)(12 - 2t) = 12$

* この式を解いて$t$を求めます。

$(18 - 3t)(12 - 2t) = 24$

$216 - 36t - 36t + 6t^2 = 24$

$6t^2 - 72t + 216 = 24$

$6t^2 - 72t + 192 = 0$

$t^2 - 12t + 32 = 0$

$(t - 4)(t - 8) = 0$

* $t = 4$または$t = 8$

* $t = 8$のとき、BQ = 12 - 2(8) = -4となり、これはありえないので、$t = 4$が答えとなります。

3. 最終的な答え

4秒後