3点 $A(-1, 2)$, $B(5, -1)$, $C(6, 1)$ について、以下の問題を解く。 (1) 直線ABの方程式を求める。 (2) 点Cと直線ABの距離を求める。 (3) $\triangle ABC$の面積を求める。

1. 問題の内容

3点 $A(-1, 2)$, $B(5, -1)$, $C(6, 1)$ について、以下の問題を解く。

(1) 直線ABの方程式を求める。

(2) 点Cと直線ABの距離を求める。

(3) $\triangle ABC$の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線ABの方程式を求める。

まず、直線ABの傾きを求める。

傾き$m$は、$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$で求められるので、

$m = \frac{-1 - 2}{5 - (-1)} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

点A(-1, 2)を通り、傾きが$-\frac{1}{2}$の直線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$より、

$y - 2 = -\frac{1}{2}(x - (-1))$

$y - 2 = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

両辺を2倍して、

$2y = -x + 3$

$x + 2y - 3 = 0$

(2) 点Cと直線ABの距離を求める。

点$(x_1, y_1)$と直線$ax + by + c = 0$の距離$d$は、$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$で求められる。

点C(6, 1)と直線$x + 2y - 3 = 0$の距離$d$は、

$d = \frac{|1\cdot6 + 2\cdot1 - 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|6 + 2 - 3|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

(3) $\triangle ABC$の面積を求める。

$\triangle ABC$の面積$S$は、$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot d$で求められる。ただし、$d$は点Cと直線ABの距離である。

$AB = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = \frac{15}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 直線ABの方程式: $x + 2y - 3 = 0$

(2) 点Cと直線ABの距離: $\sqrt{5}$

(3) $\triangle ABC$の面積: $\frac{15}{2}$