与えられた条件から、以下の直線の媒介変数表示を求めます。 (1) 点 $(1, 4)$ を通り、方向ベクトルが $(2, 3)$ の直線 (2) 点 $(3, 5)$ を通り、方向ベクトルが $(4, 0)$ の直線 (3) 2点 $A(2, -2)$、$B(-1, 3)$ を通る直線

1. 問題の内容

与えられた条件から、以下の直線の媒介変数表示を求めます。

(1) 点 $(1, 4)$ を通り、方向ベクトルが $(2, 3)$ の直線

(2) 点 $(3, 5)$ を通り、方向ベクトルが $(4, 0)$ の直線

(3) 2点 $A(2, -2)$、$B(-1, 3)$ を通る直線

2. 解き方の手順

(1) 点 $P_0(x_0, y_0)$ を通り、方向ベクトル $\vec{v} = (a, b)$ を持つ直線の媒介変数表示は、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$

と表されます。ここで、$t$ は媒介変数です。

(1)の場合、$P_0(1, 4)$、$\vec{v} = (2, 3)$なので、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

したがって、$x = 1 + 2t$、$y = 4 + 3t$ です。

(2)の場合、$P_0(3, 5)$、$\vec{v} = (4, 0)$なので、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$

したがって、$x = 3 + 4t$、$y = 5$ です。

(3) 2点 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$ を通る直線は、方向ベクトルとして $\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$ を使うことができます。

この場合、$A(2, -2)$、$B(-1, 3)$なので、$\vec{AB} = (-1 - 2, 3 - (-2)) = (-3, 5)$ です。

よって、点Aを通り、方向ベクトル$\vec{AB}$を持つ直線の媒介変数表示は、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}$

したがって、$x = 2 - 3t$、$y = -2 + 5t$ です。

3. 最終的な答え

(1)

$x = 1 + 2t$

$y = 4 + 3t$

(2)

$x = 3 + 4t$

$y = 5$

(3)

$x = 2 - 3t$

$y = -2 + 5t$