$\theta$ の動径が第3象限にあり、$\cos \theta = -\frac{12}{13}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

##

4. の問題

1. 問題の内容

$\theta$ の動径が第3象限にあり、$\cos \theta = -\frac{12}{13}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係である $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて $\sin \theta$ の値を求めます。

$\sin^2 \theta + \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{144}{169} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{25}{169}} = \pm \frac{5}{13}$

$\theta$ は第3象限にあるので、$\sin \theta < 0$ となります。したがって、$\sin \theta = -\frac{5}{13}$ です。

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を用いて $\tan \theta$ の値を求めます。

$\tan \theta = \frac{-\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = \frac{5}{12}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = -\frac{5}{13}$

$\tan \theta = \frac{5}{12}$

##

5. の問題

1. 問題の内容

$\theta$ の動径が第4象限にあり、$\sin \theta = -\frac{2}{5}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係である $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて $\cos \theta$ の値を求めます。

$\left(-\frac{2}{5}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{4}{25} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{4}{25} = \frac{25 - 4}{25} = \frac{21}{25}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{21}{25}} = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}$

$\theta$ は第4象限にあるので、$\cos \theta > 0$ となります。したがって、$\cos \theta = \frac{\sqrt{21}}{5}$ です。

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を用いて $\tan \theta$ の値を求めます。

$\tan \theta = \frac{-\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}} = -\frac{2}{\sqrt{21}} = -\frac{2\sqrt{21}}{21}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$\tan \theta = -\frac{2\sqrt{21}}{21}$

##

6. の問題

1. 問題の内容

$\theta$ の動径が第3象限にあり、$\tan \theta = 2\sqrt{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であるから、$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta = 2\sqrt{2} \cos \theta$

また、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であるから、$(2\sqrt{2} \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$8 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$9 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{9}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{1}{9}} = \pm \frac{1}{3}$

$\theta$ は第3象限にあるので、$\cos \theta < 0$ となります。したがって、$\cos \theta = -\frac{1}{3}$ です。

$\sin \theta = 2\sqrt{2} \cos \theta = 2\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\cos \theta = -\frac{1}{3}$