三角形ABCにおいて、角Bの二等分線が辺ACと交わる点をD、角Cの二等分線が辺ABと交わる点をEとします。BC=a, CA=b, AB=cとしたとき、線分BEとCDの長さをa, b, cで表しなさい。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角Bの二等分線が辺ACと交わる点をD、角Cの二等分線が辺ABと交わる点をEとします。BC=a, CA=b, AB=cとしたとき、線分BEとCDの長さをa, b, cで表しなさい。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質を利用します。

角Bの二等分線BDについて、AD:DC = AB:BC = c:a です。

したがって、AC = b より、

$AD = \frac{c}{c+a}b$

$DC = \frac{a}{c+a}b$

次に、角Cの二等分線CEについて、AE:EB = AC:BC = b:a です。

したがって、AB = c より、

$AE = \frac{b}{a+b}c$

$EB = \frac{a}{a+b}c$

ここで、角の二等分線の長さの公式を利用します。

三角形ABCにおいて、角Bの二等分線BDの長さは、

$BD^2 = AB \cdot BC - AD \cdot DC$

です。

$BD^2 = ac - \frac{bc}{c+a} \cdot \frac{ab}{c+a} = ac - \frac{abc^2}{(a+c)^2}$

同様に、三角形ABCにおいて、角Cの二等分線CEの長さは、

$CE^2 = AC \cdot BC - AE \cdot EB$

です。

$CE^2 = ab - \frac{bc}{a+b} \cdot \frac{ac}{a+b} = ab - \frac{abc^2}{(a+b)^2}$

与えられた問題では、線分の長さBEとCDを求める必要があるので、角の二等分線の長さの公式は使いません。

角の二等分線の性質を用いて、まず線分AE, EB, AD, DCの長さを計算します。

$AE = \frac{bc}{a+b}$

$EB = \frac{ac}{a+b}$

$AD = \frac{bc}{a+c}$

$DC = \frac{ab}{a+c}$

次に、三角形BECと三角形BDCについて考えます。

三角形BECにおいて、BEは角Bの二等分線なので、$BE = \frac{2\sqrt{acs(s-b)}}{a+c}$ (s=(a+b+c)/2)となりますが、今回は不要です。

三角形CDBにおいて、$CD = \frac{ab}{a+c}$です。

三角形BECにおいて、以下の式よりBEの長さを求めます。

BEを求めるために、余弦定理を使います。

$\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ac}$

$\angle CBE = \frac{B}{2}$なので、

$CE^2 = a^2 + (\frac{ac}{a+b})^2 - 2a(\frac{ac}{a+b})cos B$

$CE^2 = a^2 + (\frac{ac}{a+b})^2 - 2a(\frac{ac}{a+b}) \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ac}$

$CE^2 = a^2 + (\frac{ac}{a+b})^2 - (\frac{a}{a+b}) (c^2 + a^2 - b^2)$

三角形CBDにおいて、以下の式よりCDの長さを求めます。

$\cos C = \frac{b^2 + a^2 - c^2}{2ab}$

$\angle BCD = \frac{C}{2}$なので、

$CD^2 = a^2 + (\frac{ab}{a+c})^2 - 2a(\frac{ab}{a+c})cos C$

$CD^2 = a^2 + (\frac{ab}{a+c})^2 - 2a(\frac{ab}{a+c}) \frac{b^2 + a^2 - c^2}{2ab}$

$CD^2 = a^2 + (\frac{ab}{a+c})^2 - (\frac{a}{a+c}) (b^2 + a^2 - c^2)$

角の二等分線定理より、

$BE = \frac{2ac\cos(\frac{B}{2})}{a+c}$

$CD = \frac{2ab\cos(\frac{C}{2})}{a+b}$

3. 最終的な答え

$BE = \frac{ac}{a+b}$

$CD = \frac{ab}{a+c}$