(1) $\triangle ABC$において、$c = 2\sqrt{3}$, $B = 75^\circ$, $C = 60^\circ$のとき、$a$の値を求めよ。 (2) $\triangle ABC$において、$A = 120^\circ$, $BC = 21$のとき、外接円の半径を求めよ。

## 回答

1. 問題の内容

(1) $\triangle ABC$において、$c = 2\sqrt{3}$, $B = 75^\circ$, $C = 60^\circ$のとき、$a$の値を求めよ。

(2) $\triangle ABC$において、$A = 120^\circ$, $BC = 21$のとき、外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$A$の角度を求める。

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin 60^\circ}$

$a = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

(2)

正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin A} = 2R$ ($R$は外接円の半径)

$\frac{21}{\sin 120^\circ} = 2R$

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{21}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$2R = \frac{21 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{42}{\sqrt{3}} = \frac{42\sqrt{3}}{3} = 14\sqrt{3}$

$R = 7\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2\sqrt{2}$

(2) 外接円の半径は$7\sqrt{3}$