与えられた2つのベクトル演算に関する式について、その意味を説明する問題です。 a) $\vec{A} \cdot \vec{B} < 0$ b) $(\vec{A} + \vec{B}) \times \vec{C} = \vec{A} \times \vec{C} + \vec{B} \times \vec{C}$

1. 問題の内容

与えられた2つのベクトル演算に関する式について、その意味を説明する問題です。

a) $\vec{A} \cdot \vec{B} < 0$

b) $(\vec{A} + \vec{B}) \times \vec{C} = \vec{A} \times \vec{C} + \vec{B} \times \vec{C}$

2. 解き方の手順

a) 内積に関する式

ベクトル $\vec{A}$ とベクトル $\vec{B}$ の内積は、以下の式で定義されます。

$\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos{\theta}$

ここで、$|\vec{A}|$ および $|\vec{B}|$ はそれぞれベクトル $\vec{A}$ と $\vec{B}$ の大きさであり、$\theta$ はベクトル $\vec{A}$ と $\vec{B}$ のなす角です。

$\vec{A} \cdot \vec{B} < 0$ ということは、$|\vec{A}||\vec{B}|\cos{\theta} < 0$ を意味します。ベクトルの大きさは常に正なので、$\cos{\theta} < 0$ となります。$\cos{\theta} < 0$ となるのは、$90^\circ < \theta \leq 180^\circ$ のときです。つまり、ベクトル $\vec{A}$ とベクトル $\vec{B}$ のなす角が直角より大きく、180度以下のとき、内積は負になります。

b) 外積に関する式

この式は、外積の分配法則を表しています。外積はベクトル積とも呼ばれ、ベクトル $\vec{A}$ と $\vec{B}$ の外積 $\vec{A} \times \vec{B}$ は、$\vec{A}$ と $\vec{B}$ の両方に垂直なベクトルであり、その大きさは $|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}||\vec{B}|\sin{\theta}$ で与えられます ($\theta$は $\vec{A}$ と $\vec{B}$ のなす角)。

式 $(\vec{A} + \vec{B}) \times \vec{C} = \vec{A} \times \vec{C} + \vec{B} \times \vec{C}$ は、ベクトル和 $\vec{A} + \vec{B}$ とベクトル $\vec{C}$ の外積が、$\vec{A}$ と $\vec{C}$ の外積、および $\vec{B}$ と $\vec{C}$ の外積の和に等しいことを意味します。これは外積演算が分配法則を満たすことを示しています。

3. 最終的な答え

a) $\vec{A} \cdot \vec{B} < 0$ は、ベクトル $\vec{A}$ とベクトル $\vec{B}$ のなす角 $\theta$ が $90^\circ < \theta \leq 180^\circ$ であることを意味します。つまり、$\vec{A}$ と $\vec{B}$ がなす角は鈍角です。

b) $(\vec{A} + \vec{B}) \times \vec{C} = \vec{A} \times \vec{C} + \vec{B} \times \vec{C}$ は、外積演算が分配法則を満たすことを意味します。