$\angle ACB$ が鈍角で $BC>AC$ である $\triangle ABC$ において、$AB=6$, $BC=3\sqrt{2}$, $\sin \angle ACB = \frac{\sqrt{14}}{4}$ である。 (1) $\sin \angle BAC$ の値を求めよ。 (2) $\cos \angle BAC$ の値を求めよ。また、辺 $AC$ の長さを求めよ。 (3) 辺 $AB$ 上に $\angle ACD = 90^\circ$ となるような点 $D$ をとる。このとき、線分 $CD$ の長さを求めよ。また、$\triangle BCD$ の外接円の中心を $O$ とするとき、四角形 $OCDB$ の面積を求めよ。

はい、承知しました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

$\angle ACB$ が鈍角で $BC>AC$ である $\triangle ABC$ において、$AB=6$, $BC=3\sqrt{2}$, $\sin \angle ACB = \frac{\sqrt{14}}{4}$ である。

(1) $\sin \angle BAC$ の値を求めよ。

(2) $\cos \angle BAC$ の値を求めよ。また、辺 $AC$ の長さを求めよ。

(3) 辺 $AB$ 上に $\angle ACD = 90^\circ$ となるような点 $D$ をとる。このとき、線分 $CD$ の長さを求めよ。また、$\triangle BCD$ の外接円の中心を $O$ とするとき、四角形 $OCDB$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{BC}{\sin \angle BAC}$ なので、

$\sin \angle BAC = \frac{BC \sin \angle ACB}{AB} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{14}}{4}}{6} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{14}}{24} = \frac{3 \sqrt{28}}{24} = \frac{3 \cdot 2 \sqrt{7}}{24} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

(2) $\cos^2 \angle BAC = 1 - \sin^2 \angle BAC = 1 - (\frac{\sqrt{7}}{4})^2 = 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}$

$\angle BAC$ は鋭角なので、$\cos \angle BAC = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos \angle BAC$ なので、

$(3\sqrt{2})^2 = 6^2 + AC^2 - 2 \cdot 6 \cdot AC \cdot \frac{3}{4}$

$18 = 36 + AC^2 - 9AC$

$AC^2 - 9AC + 18 = 0$

$(AC - 3)(AC - 6) = 0$

$AC = 3, 6$

$BC > AC$ より、$3\sqrt{2} > AC$ なので、$AC=3$

(3) $\angle ACD = 90^\circ$ なので、$\triangle ADC$ は直角三角形。

$\cos \angle BAC = \frac{AD}{AC}$ より、$AD = AC \cos \angle BAC = 3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$

$CD = AC \sin \angle BAC = 3 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$

$BD = AB - AD = 6 - \frac{9}{4} = \frac{24-9}{4} = \frac{15}{4}$

$\triangle BCD$ の外接円の半径を $R$ とすると、正弦定理より、$\frac{CD}{\sin \angle CBD} = 2R$

$\angle CBD = \angle CBA$ であり、$\cos \angle BAC = \frac{3}{4}$

$\cos \angle BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2AB \cdot AC}$

$\cos \angle BAC = \frac{36 + 9 - 18}{2 \cdot 6 \cdot 3} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$

$\sin^2 \angle ABC = 1 - \cos^2 \angle ABC = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\frac{\frac{3\sqrt{7}}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = 2R$

$2R = 3$

$R = \frac{3}{2}$

四角形 $OCDB$ の面積は、$\triangle OCD + \triangle OBD$

$\triangle OCD$ は $OC=OD=R$ の二等辺三角形。$\angle COD = 2 \angle CBD = 2 \angle CBA$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \angle BAC = \frac{\sqrt{7}}{4}$

(2) $\cos \angle BAC = \frac{3}{4}$, $AC = 3$

(3) $CD = \frac{3\sqrt{7}}{4}$

四角形OCDBの面積は分かりません。