実数 $x$, $y$ が3つの不等式 $y \ge 2x - 5$, $y \le x - 1$, $y \ge 0$ を満たすとき、$x^2 + (y - 3)^2$ の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

実数 $x$, $y$ が3つの不等式 $y \ge 2x - 5$, $y \le x - 1$, $y \ge 0$ を満たすとき、$x^2 + (y - 3)^2$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を満たす領域をグラフに図示します。

* $y \ge 2x - 5$

* $y \le x - 1$

* $y \ge 0$

これらの不等式を満たす領域は、3つの直線で囲まれた三角形の領域になります。

三角形の頂点を求めます。

1. $y = 2x - 5$ と $y = x - 1$ の交点：

$2x - 5 = x - 1$ より、$x = 4$。$y = x - 1 = 4 - 1 = 3$。交点は $(4, 3)$。

2. $y = 2x - 5$ と $y = 0$ の交点：

$2x - 5 = 0$ より、$x = \frac{5}{2}$。交点は $(\frac{5}{2}, 0)$。

3. $y = x - 1$ と $y = 0$ の交点：

$x - 1 = 0$ より、$x = 1$。交点は $(1, 0)$。

したがって、三角形の頂点は $(1, 0)$, $(\frac{5}{2}, 0)$, $(4, 3)$ です。

次に、$x^2 + (y - 3)^2$ の最大値と最小値を求めます。

この式は、点 $(x, y)$ と点 $(0, 3)$ の距離の2乗を表しています。したがって、この領域内の点から点 $(0, 3)$ までの距離の2乗を最大化および最小化することになります。

頂点 $(1, 0)$ から $(0, 3)$ までの距離の2乗は、$(1 - 0)^2 + (0 - 3)^2 = 1 + 9 = 10$。

頂点 $(\frac{5}{2}, 0)$ から $(0, 3)$ までの距離の2乗は、$(\frac{5}{2} - 0)^2 + (0 - 3)^2 = \frac{25}{4} + 9 = \frac{25}{4} + \frac{36}{4} = \frac{61}{4} = 15.25$。

頂点 $(4, 3)$ から $(0, 3)$ までの距離の2乗は、$(4 - 0)^2 + (3 - 3)^2 = 16 + 0 = 16$。

領域内にある$(0,3)$と最も近い点は、線分$y=x-1$上の点です。この線と$(0,3)$を通る直線の交点を調べます。この傾きは-1ですから、線は$y=-x+3$です。

$x-1=-x+3$を解いて、$2x=4$, $x=2$。すると、$y=2-1=1$となります。従って、$(2,1)$です。

$(2-0)^2+(1-3)^2=4+4=8$

したがって、最小値は $8$ であり、最大値は $16$ です。

3. 最終的な答え

最大値：16

最小値：8