半径$a$の半円から半径$b$の半円を切り取った図形において、色のついた部分の面積を$S$、ABの中点Mを通る弧の長さを$l$、CD=$h$とするとき、$S = hl$となることを証明する。

1. 問題の内容

半径$a$の半円から半径$b$の半円を切り取った図形において、色のついた部分の面積を$S$、ABの中点Mを通る弧の長さを$l$、CD=$h$とするとき、$S = hl$となることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$S$を$a$と$b$で表します。色のついた部分の面積$S$は、半径$a$の半円の面積から半径$b$の半円の面積を引いたものなので、

$$S = \frac{1}{2}\pi a^2 - \frac{1}{2}\pi b^2 = \frac{1}{2}\pi (a^2 - b^2)$$

次に、$l$を$a$と$b$で表します。

ABの中点Mは、AOの中点なので、MOの長さは$\frac{a+b}{2}$となります。

したがって、Mを通る弧の長さ$l$は、

$$l = \pi \frac{a+b}{2}$$

$h$は、$a - b$で表されます。

$$h = a - b$$

ここで、$hl$を計算します。

$$hl = (a-b) \cdot \pi \frac{(a+b)}{2} = \pi \frac{(a^2 - b^2)}{2} = \frac{1}{2}\pi (a^2 - b^2)$$

$S$と$hl$を比較すると、

$$S = \frac{1}{2}\pi (a^2 - b^2)$$

$$hl = \frac{1}{2}\pi (a^2 - b^2)$$

したがって、$S = hl$が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$S=hl$が証明されました。