$\triangle OAB$において、辺$OB$を$1:2$に内分する点を$L$、辺$AB$の中点を$M$とし、線分$OM$と線分$AL$の交点を$P$とするとき、$OP:PM$を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$において、辺$OB$を$1:2$に内分する点を$L$、辺$AB$の中点を$M$とし、線分$OM$と線分$AL$の交点を$P$とするとき、$OP:PM$を求めよ。

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて解く。

$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$とする。

点$L$は辺$OB$を$1:2$に内分する点なので、

$\vec{OL} = \frac{1}{3}\vec{b}$

点$M$は辺$AB$の中点なので、

$\vec{OM} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$

点$P$は線分$AL$上にあるので、$s$を実数として、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OL} = (1-s)\vec{a} + \frac{s}{3}\vec{b}$

また、点$P$は線分$OM$上にあるので、$t$を実数として、

$\vec{OP} = t\vec{OM} = t\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} = \frac{t}{2}\vec{a} + \frac{t}{2}\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、

$1-s = \frac{t}{2}$

$\frac{s}{3} = \frac{t}{2}$

これらを解くと、

$1-s = \frac{s}{3}$

$1 = \frac{4}{3}s$

$s = \frac{3}{4}$

$t = \frac{2}{3}s = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$

よって、

$\vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{OM}$

これは、$OP:PM = 1:1$を意味する。

3. 最終的な答え

$OP:PM = 1:1$