三角形ABCがあり、その辺AB, ACの延長線と辺BCに円Oが接しています。AB = 13, BC = 9, AC = 8です。 (1) 円Oと直線ABの接点をDとするとき、ADの長さを求めます。 (2) 円Oの半径を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、その辺AB, ACの延長線と辺BCに円Oが接しています。AB = 13, BC = 9, AC = 8です。

(1) 円Oと直線ABの接点をDとするとき、ADの長さを求めます。

(2) 円Oの半径を求めます。

2. 解き方の手順

(1) ADの長さを求める

円外の一点から円に引いた接線の長さは等しいので、以下の関係が成り立ちます。

AD = AE (EはACの延長線と円Oの接点)

BD = BF (FはBCと円Oの接点)

CE = CF

AD = xとすると、AE = xです。

BD = AB + AD = 13 + x

CE = AC + AE = 8 + x

したがって、

BF = 13 + x

CF = 8 + x

BC = BF + CFなので、

9 = (13 + x) + (8 + x)

9 = 21 + 2x

2x = -12

x = -6

これは明らかに誤りです。

接弦定理を使って解きます。

三角形ABCの内接円の問題として解き直します。

AD = AE = xとおくと、

BD = 13 - x

CE = 8 - x

BC = BD + CE = 9

13 - x + 8 - x = 9

21 - 2x = 9

2x = 12

x = 6

したがって、AD = 6となります。

(2) 円Oの半径を求める

三角形ABCの面積をSとする。ヘロンの公式より、s = (13+9+8)/2 = 15

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{15(15-9)(15-13)(15-8)} = \sqrt{15 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 7} = \sqrt{1260} = 6\sqrt{35}$

次に、外接円の半径をRとする。

内接円の半径をrとする。

$S = \frac{1}{2} r (a+b+c)$

この問題では、外接円ではなく傍接円なので、半径r'とすると、

$S = \frac{1}{2} r' (-a + b + c)$。ただしaはBC。

$S = \frac{1}{2} r' (-9 + 13 + 8)$

$6\sqrt{35} = \frac{1}{2} r' (12)$

$6\sqrt{35} = 6r'$

$r' = \sqrt{35}$

3. 最終的な答え

(1) AD = 6

(2) 円Oの半径 = $\sqrt{35}$