2つの平面 $2x - 3y + z = 1$ と $3x + 2y - z = -1$ の交線を含み、ベクトル $(1, 2, 3)$ に平行な平面の方程式を求める。

1. 問題の内容

2つの平面 $2x - 3y + z = 1$ と $3x + 2y - z = -1$ の交線を含み、ベクトル $(1, 2, 3)$ に平行な平面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2つの平面の交線を含む平面の方程式は、実数 $k$ を用いて

$$2x - 3y + z - 1 + k(3x + 2y - z + 1) = 0$$

と表せる。これを整理すると、

$$(2 + 3k)x + (-3 + 2k)y + (1 - k)z + (-1 + k) = 0$$

となる。

この平面がベクトル $\vec{v} = (1, 2, 3)$ に平行であるということは、平面の法線ベクトル $\vec{n} = (2 + 3k, -3 + 2k, 1 - k)$ と $\vec{v}$ が垂直であるということなので、内積が0になる。つまり

$$\vec{n} \cdot \vec{v} = (2 + 3k) \cdot 1 + (-3 + 2k) \cdot 2 + (1 - k) \cdot 3 = 0$$

これを計算すると、

$$2 + 3k - 6 + 4k + 3 - 3k = 0$$

$$4k - 1 = 0$$

したがって、

$$k = \frac{1}{4}$$

これを平面の方程式に代入すると、

$$\left(2 + 3\cdot\frac{1}{4}\right)x + \left(-3 + 2\cdot\frac{1}{4}\right)y + \left(1 - \frac{1}{4}\right)z + \left(-1 + \frac{1}{4}\right) = 0$$

$$\frac{11}{4}x - \frac{5}{2}y + \frac{3}{4}z - \frac{3}{4} = 0$$

両辺に4をかけて

$$11x - 10y + 3z - 3 = 0$$

したがって求める平面の方程式は

$$11x - 10y + 3z = 3$$

3. 最終的な答え

$11x - 10y + 3z = 3$