(1) $\triangle ABC$ において、$c = 2\sqrt{3}$, $B = 75^\circ$, $C = 60^\circ$ のとき、$a$ の値を求める問題。 (2) $\triangle ABC$ において、$A = 120^\circ$, $BC = 21$ のとき、外接円の半径を求める問題。

1. 問題の内容

(1) $\triangle ABC$ において、$c = 2\sqrt{3}$, $B = 75^\circ$, $C = 60^\circ$ のとき、$a$ の値を求める問題。

(2) $\triangle ABC$ において、$A = 120^\circ$, $BC = 21$ のとき、外接円の半径を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$A$ の角度を求める。三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

これに与えられた値を代入すると、

$\frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin 60^\circ}$

$\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、

$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$a = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times (2\sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \times 4 = 2\sqrt{2}$

(2)

正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin A} = 2R$ （Rは外接円の半径）

与えられた値を代入すると、

$\frac{21}{\sin 120^\circ} = 2R$

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{21}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$2R = 21 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{42}{\sqrt{3}} = \frac{42\sqrt{3}}{3} = 14\sqrt{3}$

$R = 7\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2\sqrt{2}$

(2) 外接円の半径は $7\sqrt{3}$