原点$O(0,0,0)$を通り、ベクトル$\vec{n} = (1, 4, -3)$に垂直な平面の方程式を求める。

1. 問題の内容

原点$O(0,0,0)$を通り、ベクトル$\vec{n} = (1, 4, -3)$に垂直な平面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

平面上の任意の点$P(x, y, z)$に対して、ベクトル$\vec{OP}$は$\vec{n}$に垂直である。

したがって、$\vec{n} \cdot \vec{OP} = 0$が成り立つ。

$\vec{OP} = (x-0, y-0, z-0) = (x, y, z)$であるから、

$\vec{n} \cdot \vec{OP} = (1, 4, -3) \cdot (x, y, z) = 1 \cdot x + 4 \cdot y + (-3) \cdot z = x + 4y - 3z = 0$

3. 最終的な答え

$x + 4y - 3z = 0$