問題は、図のようなトラックについて、以下の3つの問いに答えるものです。 (1) トラックの面積 $S$ を、$r$ と $a$ を用いて表す。 (2) 中央の線の長さ $l$ を、$r$ と $a$ を用いて表す。 (3) トラックの面積 $S$ を、$a$ と $l$ を用いて表す。

1. 問題の内容

問題は、図のようなトラックについて、以下の3つの問いに答えるものです。

(1) トラックの面積 $S$ を、$r$ と $a$ を用いて表す。

(2) 中央の線の長さ $l$ を、$r$ と $a$ を用いて表す。

(3) トラックの面積 $S$ を、$a$ と $l$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) トラックの面積 $S$ を求める。

トラックは、長方形2つと半径 $r+a$ の半円2つ、半径 $r$ の半円2つから構成されます。

長方形の面積は $2r \times 2a = 4ra$。

半径 $r+a$ の円の面積は $\pi(r+a)^2 = \pi(r^2 + 2ra + a^2)$。

半径 $r$ の円の面積は $\pi r^2$。

トラックの面積は、

$S = \pi(r+a)^2 - \pi r^2 + 2 \times 2ra = \pi(r^2 + 2ra + a^2) - \pi r^2 + 4ra = \pi a^2 + 2\pi ra + 4ra = \pi a^2 + (2\pi r + 4r)a = \pi a^2 + 2(\pi + 2)ra$.

(2) 中央の線の長さ $l$ を求める。

中央の線は、長さ $2r$ の直線が2つと、半径 $r$ の円周から構成されます。

$l = 2r + 2r + 2\pi r = 4r + 2\pi r = 2(\pi + 2)r$.

(3) トラックの面積 $S$ を、$a$ と $l$ を用いて表す。

(2)より、$2(\pi + 2)r = l$なので、$r = \frac{l}{2(\pi + 2)}$。

(1)より、$S = \pi a^2 + 2(\pi+2)ra$なので、$S = \pi a^2 + la$.

$S = a(\pi a + l)$.

3. 最終的な答え

(1) $S = \pi a^2 + 2(\pi + 2)ra$

(2) $l = 2(\pi + 2)r$

(3) $S = a(\pi a + l)$