$\alpha$と$\beta$の範囲がそれぞれ$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$と$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$で与えられており、$\sin \alpha = \frac{2}{3}$と$\sin \beta = \frac{4}{5}$のとき、以下の値を求める。 (1) $\sin (\alpha - \beta)$ (2) $\cos (\alpha + \beta)$

1. 問題の内容

$\alpha$と$\beta$の範囲がそれぞれ$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$と$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$で与えられており、$\sin \alpha = \frac{2}{3}$と$\sin \beta = \frac{4}{5}$のとき、以下の値を求める。

(1) $\sin (\alpha - \beta)$

(2) $\cos (\alpha + \beta)$

2. 解き方の手順

まず、$\cos \alpha$と$\cos \beta$を求める。

(1)

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$より、$\cos \alpha > 0$である。

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

よって、

$\cos \alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$より、$\cos \beta < 0$である。

$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

よって、

$\cos \beta = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$

$\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

$\sin (\alpha - \beta) = (\frac{2}{3})(-\frac{3}{5}) - (\frac{\sqrt{5}}{3})(\frac{4}{5}) = -\frac{6}{15} - \frac{4\sqrt{5}}{15} = -\frac{6 + 4\sqrt{5}}{15}$

(2)

$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha + \beta) = (\frac{\sqrt{5}}{3})(-\frac{3}{5}) - (\frac{2}{3})(\frac{4}{5}) = -\frac{3\sqrt{5}}{15} - \frac{8}{15} = -\frac{3\sqrt{5} + 8}{15}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin (\alpha - \beta) = -\frac{6 + 4\sqrt{5}}{15}$

(2) $\cos (\alpha + \beta) = -\frac{8 + 3\sqrt{5}}{15}$