$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $2:3$ に内分する点を $M$, 辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $N$ とする。線分 $BM$ と $AN$ の交点を $P$ とする。 $AP:PN = s:(1-s)$ とすると $\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ で表す。 また、$BP:PM = t:(1-t)$ とすると $\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ で表す。 これらの結果から、$s$ と $t$ の値を求め、$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ で表す。

はい、承知しました。問題文の内容と解法、解答を以下に示します。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $2:3$ に内分する点を $M$, 辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $N$ とする。線分 $BM$ と $AN$ の交点を $P$ とする。

$AP:PN = s:(1-s)$ とすると $\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ で表す。

また、$BP:PM = t:(1-t)$ とすると $\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ で表す。

これらの結果から、$s$ と $t$ の値を求め、$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ で表す。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{OP}$ を $s$ を用いて表す。

点 $P$ は線分 $AN$ 上にあるので、

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{ON}$

$N$ は $OB$ を $1:2$ に内分する点なので、$\overrightarrow{ON} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$

よって、

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s \cdot \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} = (1-s)\overrightarrow{OA} + \frac{s}{3}\overrightarrow{OB}$

(2) $\overrightarrow{OP}$ を $t$ を用いて表す。

点 $P$ は線分 $BM$ 上にあるので、

$\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OM}$

$M$ は $OA$ を $2:3$ に内分する点なので、$\overrightarrow{OM} = \frac{2}{5}\overrightarrow{OA}$

よって、

$\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t \cdot \frac{2}{5}\overrightarrow{OA} = \frac{2t}{5}\overrightarrow{OA} + (1-t)\overrightarrow{OB}$

(3) $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ は一次独立なので、(1)と(2)の係数を比較して、

$1-s = \frac{2t}{5}$

$\frac{s}{3} = 1-t$

これらの式から、$s$ と $t$ を求める。

$s = 3(1-t)$ を $1-s = \frac{2t}{5}$ に代入すると、

$1 - 3(1-t) = \frac{2t}{5}$

$1 - 3 + 3t = \frac{2t}{5}$

$-2 + 3t = \frac{2t}{5}$

$-10 + 15t = 2t$

$13t = 10$

$t = \frac{10}{13}$

$s = 3(1 - \frac{10}{13}) = 3(\frac{3}{13}) = \frac{9}{13}$

(4) $\overrightarrow{OP}$ を求める。

$s = \frac{9}{13}$ を $\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + \frac{s}{3}\overrightarrow{OB}$ に代入すると、

$\overrightarrow{OP} = (1-\frac{9}{13})\overrightarrow{OA} + \frac{9/13}{3}\overrightarrow{OB} = \frac{4}{13}\overrightarrow{OA} + \frac{3}{13}\overrightarrow{OB}$

3. 最終的な答え

$s = \frac{9}{13}$, $t = \frac{10}{13}$, $\overrightarrow{OP} = \frac{4}{13}\overrightarrow{OA} + \frac{3}{13}\overrightarrow{OB}$