曲線 $x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$ 上の点で、原点から最も近い点と最も遠い点を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$ 上の点で、原点から最も近い点と最も遠い点を求める問題です。

2. 解き方の手順

原点からの距離の二乗を $d^2 = x^2 + y^2$ とします。

この $d^2$ を、制約条件 $x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$ の下で最大化および最小化します。

ラグランジュの未定乗数法を用いると、ラグランジュ関数は次のようになります。

$L(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 - \lambda(x^2 + xy + y^2 - 3)$

このラグランジュ関数を $x$, $y$, $\lambda$ で偏微分し、それぞれ $0$ とおきます。

$\frac{\partial L}{\partial x} = 2x - \lambda(2x + y) = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 2y - \lambda(x + 2y) = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(x^2 + xy + y^2 - 3) = 0$

最初の2つの式から、以下が得られます。

$2x = \lambda(2x + y)$

$2y = \lambda(x + 2y)$

$\lambda \ne 0$として、

$2x(x+2y) = 2y(2x+y)$

$2x^2 + 4xy = 4xy + 2y^2$

$2x^2 = 2y^2$

$x^2 = y^2$

したがって、$x = y$ または $x = -y$です。

(1) $x = y$の場合：

$x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$に代入すると、$x^2 + x^2 + x^2 - 3 = 0$より、$3x^2 = 3$。

よって、$x^2 = 1$、つまり、$x = \pm 1$。したがって、$x = y = 1$または$x = y = -1$。

このとき、$d^2 = x^2 + y^2 = 1^2 + 1^2 = 2$ または $d^2 = (-1)^2 + (-1)^2 = 2$。

点の座標は $(1, 1)$ と $(-1, -1)$。

(2) $x = -y$の場合：

$x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$に代入すると、$x^2 - x^2 + x^2 - 3 = 0$より、$x^2 = 3$。

よって、$x = \pm \sqrt{3}$。したがって、$x = \sqrt{3}, y = -\sqrt{3}$または$x = -\sqrt{3}, y = \sqrt{3}$。

このとき、$d^2 = x^2 + y^2 = (\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{3})^2 = 3 + 3 = 6$ または $d^2 = (-\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 = 3 + 3 = 6$。

点の座標は $(\sqrt{3}, -\sqrt{3})$ と $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$。

$d^2 = 2$ のとき、$d = \sqrt{2}$

$d^2 = 6$ のとき、$d = \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

原点に最も近い点: $(1, 1)$, $(-1, -1)$

原点から最も遠い点: $(\sqrt{3}, -\sqrt{3})$, $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$