与えられた2直線がなす鋭角 $\alpha$ を求める問題です。2つの問題があります。 (1) $\sqrt{3}x + 3y - 1 = 0$ と $-x + \sqrt{3}y - 2 = 0$ (2) $2x + 4y + 1 = 0$ と $x - 3y + 7 = 0$

1. 問題の内容

与えられた2直線がなす鋭角 $\alpha$ を求める問題です。2つの問題があります。

(1) $\sqrt{3}x + 3y - 1 = 0$ と $-x + \sqrt{3}y - 2 = 0$

(2) $2x + 4y + 1 = 0$ と $x - 3y + 7 = 0$

2. 解き方の手順

2直線のなす角を求めるには、それぞれの直線の傾きを利用します。

傾きを $m_1, m_2$ とすると、2直線のなす角 $\theta$ は、

$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$

で求められます。鋭角を求めるので、$\theta$ が90度を超えた場合は、180度から引いた値を答えます。

(1)

$\sqrt{3}x + 3y - 1 = 0$ より、 $3y = -\sqrt{3}x + 1$ なので、$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{1}{3}$。傾きは $m_1 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$。

$-x + \sqrt{3}y - 2 = 0$ より、$\sqrt{3}y = x + 2$ なので、$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{2}{\sqrt{3}}$。傾きは $m_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。

$\tan \theta = \left| \frac{-\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + (-\frac{\sqrt{3}}{3})(\frac{\sqrt{3}}{3})} \right| = \left| \frac{-\frac{2\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{3}{9}} \right| = \left| \frac{-\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{6}{9}} \right| = \left| \frac{-\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}} \right| = |-\sqrt{3}| = \sqrt{3}$

$\theta = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$

したがって、鋭角 $\alpha$ は $60^\circ$。

(2)

$2x + 4y + 1 = 0$ より、$4y = -2x - 1$ なので、$y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}$。傾きは $m_1 = -\frac{1}{2}$。

$x - 3y + 7 = 0$ より、$3y = x + 7$ なので、$y = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$。傾きは $m_2 = \frac{1}{3}$。

$\tan \theta = \left| \frac{-\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{1 + (-\frac{1}{2})(\frac{1}{3})} \right| = \left| \frac{-\frac{5}{6}}{1 - \frac{1}{6}} \right| = \left| \frac{-\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} \right| = |-1| = 1$

$\theta = \frac{\pi}{4} = 45^\circ$

したがって、鋭角 $\alpha$ は $45^\circ$。

3. 最終的な答え

(1) $60^\circ$

(2) $45^\circ$