$a$ を実数とする。3辺の長さが $a-1, a, a+1$ となる三角形が存在するとき、以下の問いに答える。 (1) $a$ の値の範囲を求めよ。 (2) この三角形が鈍角三角形となるときの $a$ の値の範囲を求めよ。 (3) $a$ がいくつのとき、1つの内角が $120^\circ$ となるか。 (4) (3)のとき、三角形の外接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を実数とする。3辺の長さが $a-1, a, a+1$ となる三角形が存在するとき、以下の問いに答える。

(1) $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) この三角形が鈍角三角形となるときの $a$ の値の範囲を求めよ。

(3) $a$ がいくつのとき、1つの内角が $120^\circ$ となるか。

(4) (3)のとき、三角形の外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 三角形の成立条件より、

$a-1 + a > a+1$

$a-1 + a+1 > a$

$a + a+1 > a-1$

これらの不等式を解く。

$2a - 1 > a+1 \Rightarrow a > 2$

$2a > a \Rightarrow a > 0$

$2a + 1 > a-1 \Rightarrow a > -2$

また、$a-1 > 0$ より $a > 1$。

したがって、$a > 2$。

(2) 鈍角三角形になる条件を考える。

$(a+1)^2 > (a-1)^2 + a^2$

$a^2 + 2a + 1 > a^2 - 2a + 1 + a^2$

$a^2 - 4a < 0$

$a(a-4) < 0$

$0 < a < 4$

(1) の結果より、$2 < a < 4$。

(3) 1つの内角が $120^\circ$ のとき、余弦定理を用いる。

$(a+1)^2 = (a-1)^2 + a^2 - 2(a-1)a \cos 120^\circ$

$a^2 + 2a + 1 = a^2 - 2a + 1 + a^2 + (a-1)a$

$a^2 + 2a + 1 = a^2 - 2a + 1 + a^2 + a^2 - a$

$0 = 2a^2 - 5a$

$a(2a-5) = 0$

$a = 0$ または $a = \frac{5}{2}$

$a > 2$ より $a = \frac{5}{2}$

(4) $a = \frac{5}{2}$ のとき、3辺の長さは $\frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \frac{7}{2}$

正弦定理より、$\frac{\frac{7}{2}}{\sin 120^\circ} = 2R$

$R = \frac{7}{4\sin 120^\circ} = \frac{7}{4 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{7}{2\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $a > 2$

(2) $2 < a < 4$

(3) $a = \frac{5}{2}$

(4) $\frac{7\sqrt{3}}{6}$