三角形ABCがあり、$AB = \sqrt{13}$ cm, $BC = 6$ cm, $CA = 5$ cmである。点Aから辺BCに垂線を下ろし、交点をHとする。 (1) $BH = x$ cmとするとき、2つの直角三角形ABH, ACHに三平方の定理を用いて、$AH^2$をxの式で2通りに表すことにより、$x$の値を求める。ただし、$0 < x < 6$とする。 (2) 三角形ABCを直線BCを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。ただし、円周率は$\pi$とする。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、$AB = \sqrt{13}$ cm, $BC = 6$ cm, $CA = 5$ cmである。点Aから辺BCに垂線を下ろし、交点をHとする。

(1) $BH = x$ cmとするとき、2つの直角三角形ABH, ACHに三平方の定理を用いて、$AH^2$をxの式で2通りに表すことにより、$x$の値を求める。ただし、$0 < x < 6$とする。

(2) 三角形ABCを直線BCを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。ただし、円周率は$\pi$とする。

2. 解き方の手順

(1)

直角三角形ABHにおいて、三平方の定理より

$AH^2 = AB^2 - BH^2 = (\sqrt{13})^2 - x^2 = 13 - x^2$

直角三角形ACHにおいて、$CH = BC - BH = 6 - x$より、三平方の定理より

$AH^2 = AC^2 - CH^2 = 5^2 - (6-x)^2 = 25 - (36 - 12x + x^2) = -11 + 12x - x^2$

したがって、

$13 - x^2 = -11 + 12x - x^2$

$12x = 24$

$x = 2$

(2)

三角形ABCを直線BCを軸として回転させると、底面が共通の2つの円錐ができる。

AHは共通の底面の半径となる。

$AH^2 = 13 - x^2 = 13 - 2^2 = 9$

$AH = 3$

底面積は $S = \pi AH^2 = 9\pi$

BHを底面とする円錐の高さは$BH = 2$なので、体積は

$V_1 = \frac{1}{3} S \times BH = \frac{1}{3} \times 9\pi \times 2 = 6\pi$

CHを底面とする円錐の高さは$CH = BC - BH = 6 - 2 = 4$なので、体積は

$V_2 = \frac{1}{3} S \times CH = \frac{1}{3} \times 9\pi \times 4 = 12\pi$

求める立体の体積は

$V = V_1 + V_2 = 6\pi + 12\pi = 18\pi$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2$

(2) $18\pi$