A(-2, 0), B(2, 0), C(0, 1)の3点がある。0 < p < qを満たす点P(0, p), Q(0, q)について、線分PQの中点がCとなるように取る。直線APと直線BQの交点をRとする。 (1) 点Rの座標をpで表せ。 (2) 点Rの軌跡を図示せよ。

1. 問題の内容

A(-2, 0), B(2, 0), C(0, 1)の3点がある。0 < p < qを満たす点P(0, p), Q(0, q)について、線分PQの中点がCとなるように取る。直線APと直線BQの交点をRとする。

(1) 点Rの座標をpで表せ。

(2) 点Rの軌跡を図示せよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、線分PQの中点がCであるという条件から、pとqの関係を求める。

P(0, p), Q(0, q)の中点の座標は、

$\left( \frac{0+0}{2}, \frac{p+q}{2} \right) = \left( 0, \frac{p+q}{2} \right)$

これがC(0, 1)と一致するので、

$\frac{p+q}{2} = 1$

$p+q = 2$

$q = 2 - p$

次に、直線APと直線BQの方程式を求める。

直線APは、A(-2, 0), P(0, p)を通るので、

$\frac{y-0}{x-(-2)} = \frac{p-0}{0-(-2)}$

$\frac{y}{x+2} = \frac{p}{2}$

$y = \frac{p}{2}(x+2)$

$y = \frac{p}{2}x + p$

直線BQは、B(2, 0), Q(0, q)を通るので、q = 2-pを代入して

$\frac{y-0}{x-2} = \frac{q-0}{0-2} = \frac{2-p}{-2}$

$y = \frac{p-2}{2}(x-2)$

$y = \frac{p-2}{2}x - (p-2)$

$y = \frac{p-2}{2}x - p + 2$

Rは直線APと直線BQの交点なので、2つの式を連立して解く。

$\frac{p}{2}x + p = \frac{p-2}{2}x - p + 2$

$\frac{p - (p - 2)}{2}x = -2p + 2$

$\frac{2}{2}x = -2p + 2$

$x = -2p + 2 = 2 - 2p$

これを直線APの式に代入すると、

$y = \frac{p}{2}(2 - 2p) + p$

$y = p - p^2 + p$

$y = 2p - p^2$

したがって、Rの座標は$(2-2p, 2p - p^2)$

(2)

Rの座標を(X, Y)とすると、

$X = 2 - 2p$

$Y = 2p - p^2$

$p = 1 - \frac{X}{2}$

これをYの式に代入すると、

$Y = 2(1 - \frac{X}{2}) - (1 - \frac{X}{2})^2$

$Y = 2 - X - (1 - X + \frac{X^2}{4})$

$Y = 2 - X - 1 + X - \frac{X^2}{4}$

$Y = 1 - \frac{X^2}{4}$

$Y = -\frac{1}{4}X^2 + 1$

これは上に凸の放物線。

$0 < p < q$であり、$p+q=2$より、$0 < p < 1$

$X = 2 - 2p$より、$2 - 2(1) < X < 2 - 2(0)$

$0 < X < 2$

したがって、Rの軌跡は、放物線$Y = -\frac{1}{4}X^2 + 1$の$0 < X < 2$の部分である。

3. 最終的な答え

(1) Rの座標：$(2-2p, 2p - p^2)$

(2) Rの軌跡：放物線$y = -\frac{1}{4}x^2 + 1$の$0 < x < 2$の部分（グラフは省略）