(1) 直線 $l: 2x - y - 4 = 0$ に関して点 $A(1, 3)$ と対称な点 $B$ の座標を求める問題。 また、点 $C(3, 5)$ とし、$P$ を直線 $l$ 上の点とするとき、$AP + PC$ が最小になるときの点 $P$ の座標を求める問題。 (2) $x, y$ を実数とし、$x^2 + y^2 = 1$ のとき、$2x + y$ の最大値を求める問題。

1. 問題の内容

(1) 直線 $l: 2x - y - 4 = 0$ に関して点 $A(1, 3)$ と対称な点 $B$ の座標を求める問題。

また、点 $C(3, 5)$ とし、$P$ を直線 $l$ 上の点とするとき、$AP + PC$ が最小になるときの点 $P$ の座標を求める問題。

(2) $x, y$ を実数とし、$x^2 + y^2 = 1$ のとき、$2x + y$ の最大値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点 $B$ の座標を $(a, b)$ とおく。

$A$ と $B$ の中点は $\left(\frac{1+a}{2}, \frac{3+b}{2}\right)$ であり、この点が直線 $l$ 上にあるので、

$2\left(\frac{1+a}{2}\right) - \left(\frac{3+b}{2}\right) - 4 = 0$ が成り立つ。

整理すると、

$2(1+a) - (3+b) - 8 = 0$

$2+2a - 3 - b - 8 = 0$

$2a - b = 9$ ...(i)

また、直線 $AB$ の傾きは $\frac{b-3}{a-1}$ であり、直線 $l$ の傾きは $2$ である。

$AB$ と $l$ は直交するので、$\frac{b-3}{a-1} \times 2 = -1$ が成り立つ。

$2(b-3) = -(a-1)$

$2b - 6 = -a + 1$

$a + 2b = 7$ ...(ii)

(i)と(ii)の連立方程式を解く。

(i)より $b = 2a - 9$

(ii)に代入して、

$a + 2(2a - 9) = 7$

$a + 4a - 18 = 7$

$5a = 25$

$a = 5$

$b = 2(5) - 9 = 10 - 9 = 1$

したがって、点 $B$ の座標は $(5, 1)$ である。

次に、$AP + PC$ が最小になる点 $P$ を求める。点 $A$ の直線 $l$ に関する対称点が $B(5, 1)$ なので、

$AP = BP$ である。よって、$AP + PC = BP + PC$ が最小となる点 $P$ を求める。

これは、点 $B$ と点 $C$ を結ぶ線分 $BC$ と直線 $l$ の交点が点 $P$ となるときである。

直線 $BC$ の方程式を求める。

$BC$ の傾きは $\frac{5-1}{3-5} = \frac{4}{-2} = -2$

直線 $BC$ の方程式は $y - 1 = -2(x - 5)$

$y - 1 = -2x + 10$

$y = -2x + 11$

この直線と $l: 2x - y - 4 = 0$ の交点を求める。

$2x - (-2x + 11) - 4 = 0$

$2x + 2x - 11 - 4 = 0$

$4x = 15$

$x = \frac{15}{4}$

$y = -2\left(\frac{15}{4}\right) + 11 = -\frac{15}{2} + \frac{22}{2} = \frac{7}{2}$

したがって、点 $P$ の座標は $\left(\frac{15}{4}, \frac{7}{2}\right)$ である。

(2)

$x^2 + y^2 = 1$ なので、$x = \cos\theta$, $y = \sin\theta$ とおくことができる。

$2x + y = 2\cos\theta + \sin\theta$

三角関数の合成を行う。

$2\cos\theta + \sin\theta = \sqrt{2^2 + 1^2}\sin(\theta + \alpha) = \sqrt{5}\sin(\theta + \alpha)$

ただし、$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$, $\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$-1 \leq \sin(\theta + \alpha) \leq 1$ なので、

$-\sqrt{5} \leq \sqrt{5}\sin(\theta + \alpha) \leq \sqrt{5}$

したがって、$2x + y$ の最大値は $\sqrt{5}$ である。

3. 最終的な答え

(1) 点Bの座標は $(5, 1)$

点Pの座標は $\left(\frac{15}{4}, \frac{7}{2}\right)$

(2) $2x+y$ の最大値は $\sqrt{5}$