(1) 2点(3,1), (-1,4)を通る直線 $l$ のベクトル表示を求めます。 (2) 直線 $l$ の法線ベクトルを一つ求めます。 (3) 点(5,-1)を通り、$l$に垂直な直線 $m$ のベクトル方程式を求めます。

## 問題の解答

### 問題3-1

1. 問題の内容

(1) 2点(3,1), (-1,4)を通る直線 $l$ のベクトル表示を求めます。

(2) 直線 $l$ の法線ベクトルを一つ求めます。

(3) 点(5,-1)を通り、$l$に垂直な直線 $m$ のベクトル方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ のベクトル表示を求める。

まず、方向ベクトル $\vec{d}$ を計算します。

$\vec{d} = (-1, 4) - (3, 1) = (-4, 3)$

直線上の点 (3,1) を位置ベクトル $\vec{a}$ とします。

$\vec{a} = (3, 1)$

よって、直線 $l$ のベクトル方程式は、

$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d} = (3, 1) + t(-4, 3)$

となります。 ここで、$t$ は実数です。

(2) 直線 $l$ の法線ベクトルを求める。

方向ベクトル $\vec{d} = (-4, 3)$ に対して垂直なベクトルが法線ベクトル $\vec{n}$ です。

$\vec{d} \cdot \vec{n} = 0$となるベクトル $\vec{n}$ を求めればよいです。

例えば、$\vec{n} = (3, 4)$ とすると、

$(-4, 3) \cdot (3, 4) = -12 + 12 = 0$

となるので、$\vec{n} = (3, 4)$ は $l$ の法線ベクトルの一つです。

(3) 直線 $m$ のベクトル方程式を求める。

直線 $m$ は直線 $l$ に垂直なので、直線 $l$ の方向ベクトル $\vec{d} = (-4, 3)$ が、直線 $m$ の法線ベクトルになります。

直線 $m$ は点(5,-1)を通るので、位置ベクトル $\vec{a} = (5, -1)$ とします。

ベクトル方程式は、

$(\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{d} = 0$

$(\vec{p} - (5, -1)) \cdot (-4, 3) = 0$

$\vec{p} = (x, y)$とすると、

$((x, y) - (5, -1)) \cdot (-4, 3) = 0$

$(x - 5, y + 1) \cdot (-4, 3) = 0$

$-4(x - 5) + 3(y + 1) = 0$

$-4x + 20 + 3y + 3 = 0$

$-4x + 3y + 23 = 0$

$4x - 3y - 23 = 0$

ベクトル方程式は、

$(x, y) \cdot (-4, 3) = (5, -1) \cdot (-4, 3) = -20 - 3 = -23$

$(x, y) \cdot (4, -3) = 23$

3. 最終的な答え

(1) 直線 $l$ のベクトル表示: $\vec{p} = (3, 1) + t(-4, 3)$

(2) 直線 $l$ の法線ベクトル: $(3, 4)$ (一つの例)

(3) 直線 $m$ のベクトル方程式: $(x, y) \cdot (4, -3) = 23$ または $4x - 3y - 23 = 0$

### 問題3-2

1. 問題の内容

(1) $y = -3x + 1$ のベクトル表示を求めます。

(2) $y = x + 1$ と直交し、点 (2,1) を通る直線のベクトル表示を求めます。

(3) x軸とのなす角が60°で、点 (0,2) を通る直線のベクトル表示を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = -3x + 1$ のベクトル表示を求める。

$y = -3x + 1$ を $3x + y - 1 = 0$ と変形します。

法線ベクトルは $\vec{n} = (3, 1)$ です。

点 (0, 1) は直線上にあるので、位置ベクトル $\vec{a} = (0, 1)$ とします。

ベクトル方程式は、

$(x, y) \cdot (3, 1) = (0, 1) \cdot (3, 1) = 0 + 1 = 1$

$3x + y = 1$

(2) $y = x + 1$ と直交し、点 (2,1) を通る直線のベクトル表示を求める。

$y = x + 1$ を $x - y + 1 = 0$ と変形します。

法線ベクトルは $\vec{n_1} = (1, -1)$ です。

求める直線と $y = x + 1$ は直交するので、求める直線の法線ベクトル $\vec{n_2}$ は $\vec{n_1}$ に垂直です。

$\vec{n_2}$ の方向ベクトルは $\vec{n_1} = (1, -1)$ です。よって、$\vec{n_2}=(1,1)$です。

点 (2, 1) を通るので、位置ベクトル $\vec{a} = (2, 1)$ とします。

ベクトル方程式は、

$(x, y) \cdot (1, 1) = (2, 1) \cdot (1, 1) = 2 + 1 = 3$

$x + y = 3$

(3) x軸とのなす角が60°で、点 (0,2) を通る直線のベクトル表示を求める。

傾きは $tan(60^\circ) = \sqrt{3}$ です。

$y = \sqrt{3}x + 2$

$\sqrt{3}x - y + 2 = 0$

法線ベクトルは $\vec{n} = (\sqrt{3}, -1)$ です。

点 (0, 2) を通るので、位置ベクトル $\vec{a} = (0, 2)$ とします。

ベクトル方程式は、

$(x, y) \cdot (\sqrt{3}, -1) = (0, 2) \cdot (\sqrt{3}, -1) = 0 - 2 = -2$

$\sqrt{3}x - y = -2$

3. 最終的な答え

(1) $3x + y = 1$

(2) $x + y = 3$

(3) $\sqrt{3}x - y = -2$