複素数平面上の3点 $\alpha = 1 + i$, $\beta = 3 + 2i$, $\gamma$ が正三角形の頂点となるような $\gamma$ を求める。

1. 問題の内容

複素数平面上の3点 $\alpha = 1 + i$, $\beta = 3 + 2i$, $\gamma$ が正三角形の頂点となるような $\gamma$ を求める。

2. 解き方の手順

正三角形の頂点をなす複素数$\alpha, \beta, \gamma$の間には、以下の関係式が成り立つ。

$(\alpha - \gamma) = e^{\pm i\pi/3} (\beta - \gamma)$

$\gamma$について解くために、式を変形する。

$\alpha - \gamma = (\cos(\pm \pi/3) + i \sin(\pm \pi/3)) (\beta - \gamma)$

$\alpha - \gamma = (\frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2}) (\beta - \gamma)$

場合分けして考える。

(i) $\alpha - \gamma = (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (\beta - \gamma)$のとき

$\alpha - \gamma = (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \beta - (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \gamma$

$\gamma - (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \gamma = \alpha - (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \beta$

$(1 - \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) \gamma = \alpha - (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \beta$

$(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) \gamma = (1 + i) - (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (3 + 2i)$

$(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) \gamma = 1 + i - (\frac{3}{2} + i\sqrt{3} + i + i^2 \sqrt{3})$

$(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) \gamma = 1 + i - (\frac{3}{2} - \sqrt{3} + i(\sqrt{3} + 1))$

$(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) \gamma = 1 - \frac{3}{2} + \sqrt{3} + i(1 - \sqrt{3} - 1)$

$(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) \gamma = -\frac{1}{2} + \sqrt{3} - i\sqrt{3}$

$\gamma = \frac{-\frac{1}{2} + \sqrt{3} - i\sqrt{3}}{\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{-1 + 2\sqrt{3} - 2i\sqrt{3}}{1 - i\sqrt{3}} = \frac{(-1 + 2\sqrt{3} - 2i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3})}{(1 - i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3})}$

$\gamma = \frac{-1 + 2\sqrt{3} - 2i\sqrt{3} -i\sqrt{3} + 2i\sqrt{3}\sqrt{3} -2i^2 (\sqrt{3})^2}{1 + 3}$

$\gamma = \frac{-1 + 2\sqrt{3} - 3i\sqrt{3} + 6i -2(-1)(3)}{4} = \frac{-1 + 6 + 2\sqrt{3} + i(6 - 3\sqrt{3})}{4} = \frac{5 + 2\sqrt{3} + i(6 - 3\sqrt{3})}{4}$

$\gamma = \frac{5 + 2\sqrt{3}}{4} + i\frac{6 - 3\sqrt{3}}{4} = \frac{5 + 2\sqrt{3}}{4} + i\frac{2(3 - \frac{3}{2}\sqrt{3})}{4}$

(ii) $\alpha - \gamma = (\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) (\beta - \gamma)$のとき

$\alpha - \gamma = (\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) \beta - (\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) \gamma$

$\gamma - (\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) \gamma = \alpha - (\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) \beta$

$(1 - \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \gamma = (1 + i) - (\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) (3 + 2i)$

$(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \gamma = 1 + i - (\frac{3}{2} - i\sqrt{3} + i - i^2 \sqrt{3})$

$(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \gamma = 1 + i - (\frac{3}{2} + \sqrt{3} + i(1 - \sqrt{3}))$

$(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \gamma = 1 - \frac{3}{2} - \sqrt{3} + i(1 - 1 + \sqrt{3})$

$(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \gamma = -\frac{1}{2} - \sqrt{3} + i\sqrt{3}$

$\gamma = \frac{-\frac{1}{2} - \sqrt{3} + i\sqrt{3}}{\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{-1 - 2\sqrt{3} + 2i\sqrt{3}}{1 + i\sqrt{3}} = \frac{(-1 - 2\sqrt{3} + 2i\sqrt{3})(1 - i\sqrt{3})}{(1 + i\sqrt{3})(1 - i\sqrt{3})}$

$\gamma = \frac{-1 - 2\sqrt{3} + 2i\sqrt{3} +i\sqrt{3} + 2i\sqrt{3}\sqrt{3} -2i^2 (\sqrt{3})^2}{1 + 3}$

$\gamma = \frac{-1 - 2\sqrt{3} + 3i\sqrt{3} + 6i -2(-1)(3)}{4} = \frac{-1 + 6 - 2\sqrt{3} + i(6 + 3\sqrt{3})}{4} = \frac{5 - 2\sqrt{3} + i(6 + 3\sqrt{3})}{4}$

$\gamma = \frac{5 - 2\sqrt{3}}{4} + i\frac{6 + 3\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$\gamma = \frac{5 + 2\sqrt{3}}{4} + i\frac{6 - 3\sqrt{3}}{4}$ または $\gamma = \frac{5 - 2\sqrt{3}}{4} + i\frac{6 + 3\sqrt{3}}{4}$