座標平面上の4点 A(-1, 0), B(1, 0), P(-1, 3), Q(1, 1) が与えられている。線分 PQ 上に点 R をとり、R の x 座標を a とする。三角形 ABR の外接円 C の中心 S の座標を求める問題。 (1) 線分 AR の中点 M の座標を a を用いて表す。 (2) 外接円 C の中心 S の座標を求める方針を決定し、S の座標を a を用いて表す。

1. 問題の内容

座標平面上の4点 A(-1, 0), B(1, 0), P(-1, 3), Q(1, 1) が与えられている。線分 PQ 上に点 R をとり、R の x 座標を a とする。三角形 ABR の外接円 C の中心 S の座標を求める問題。

(1) 線分 AR の中点 M の座標を a を用いて表す。

(2) 外接円 C の中心 S の座標を求める方針を決定し、S の座標を a を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 線分 AR の中点 M の座標を求める。

点 R は線分 PQ 上にあるので、直線 PQ の方程式を求める。

直線 PQ の傾きは、$\frac{1-3}{1-(-1)} = \frac{-2}{2} = -1$ 。

直線 PQ の方程式は、y - 1 = -1(x - 1) より、y = -x + 2 。

点 R の座標は (a, -a + 2) である。

A(-1, 0) と R(a, -a + 2) の中点 M の座標は、

$(\frac{-1 + a}{2}, \frac{0 + (-a + 2)}{2}) = (\frac{a-1}{2}, \frac{-a+2}{2})$

よって、$M(\frac{a-1}{2}, \frac{-a+2}{2})$

(2) 外接円 C の中心 S の座標を求める。

外接円の中心 S は、各辺の垂直二等分線の交点である。

特に、線分 AB の垂直二等分線と、線分 AR の垂直二等分線の交点である。

線分 AB は x 軸上にあるので、その垂直二等分線は、x = 0 である。

S は、線分 AR の垂直二等分線上にもある。

線分 AR の中点 M は求まっているので、線分 AR の傾きを求める。

線分 AR の傾きは、$\frac{-a+2 - 0}{a - (-1)} = \frac{-a+2}{a+1}$

よって、線分 AR の垂直二等分線の傾きは、$\frac{-(a+1)}{-a+2} = \frac{a+1}{a-2}$ である。

線分 AR の垂直二等分線の方程式は、

$y - \frac{-a+2}{2} = \frac{a+1}{a-2} (x - \frac{a-1}{2})$

S は x = 0 上にあるので、

$y - \frac{-a+2}{2} = \frac{a+1}{a-2} (0 - \frac{a-1}{2})$

$y = \frac{-a+2}{2} - \frac{(a+1)(a-1)}{2(a-2)}$

$y = \frac{(-a+2)(a-2) - (a^2 - 1)}{2(a-2)}$

$y = \frac{-a^2 + 4a - 4 - a^2 + 1}{2(a-2)}$

$y = \frac{-2a^2 + 4a - 3}{2(a-2)}$

よって、$S(0, \frac{-2a^2 + 4a - 3}{2(a-2)})$

方針としては、線分 AB の垂直二等分線と、線分 AR の垂直二等分線の交点を利用する。

3. 最終的な答え

(1) 線分 AR の中点 M の座標は ($\frac{a-1}{2}, \frac{-a+2}{2}$)

ア:a, イ:-1, ウ:2, エ:-a, オ:+2

(2) 外接円 C の中心 S の座標を求める方針は、線分 AB の垂直二等分線（0）と、線分 AR の垂直二等分線（1）の交点である。

S の座標は $(0, \frac{-2a^2 + 4a - 3}{2(a-2)})$

コ:0, サシ:-2, ス:4, セ:3, ソ:2, タ:-2