円の中心が直線 $y = 2x + 1$ 上にあり、$x$軸に接し、点 $(-2, 3)$ を通る円の半径を求める問題です。

1. 問題の内容

円の中心が直線 $y = 2x + 1$ 上にあり、$x$軸に接し、点 $(-2, 3)$ を通る円の半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

円の中心を $(a, b)$ とします。中心は直線 $y = 2x + 1$ 上にあるので、$b = 2a + 1$ が成り立ちます。

また、円が $x$軸に接するので、半径は $|b|$ となります。よって、円の方程式は

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = b^2$

と表せます。円は点 $(-2, 3)$ を通るので、これを代入すると

$(-2 - a)^2 + (3 - b)^2 = b^2$

が成り立ちます。$b = 2a + 1$ を代入して $a$ を求めます。

$(-2 - a)^2 + (3 - (2a + 1))^2 = (2a + 1)^2$

$(a + 2)^2 + (2 - 2a)^2 = (2a + 1)^2$

$a^2 + 4a + 4 + 4a^2 - 8a + 4 = 4a^2 + 4a + 1$

$a^2 - 8a + 7 = 0$

$(a - 1)(a - 7) = 0$

よって、$a = 1$ または $a = 7$ となります。

$a = 1$ のとき、$b = 2(1) + 1 = 3$ となり、半径は $|b| = 3$ です。

$a = 7$ のとき、$b = 2(7) + 1 = 15$ となり、半径は $|b| = 15$ です。

3. 最終的な答え

3, 15