三角形ABCがあり、点Dは辺AB上にあり、ABとCDは垂直です。AB=50cm, BC=40cm, CA=30cmです。この三角形ABCを、頂点Cを中心として360度回転させます。 (1) CDの長さを求める問題。 (2) 辺ABが通った後の面積を求める問題。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、点Dは辺AB上にあり、ABとCDは垂直です。AB=50cm, BC=40cm, CA=30cmです。この三角形ABCを、頂点Cを中心として360度回転させます。

(1) CDの長さを求める問題。

(2) 辺ABが通った後の面積を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) CDの長さを求める。

三角形ABCは、$30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500 = 50^2$ より、ピタゴラスの定理を満たすので、直角三角形である。∠C = 90度。

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times 30 \times 40 = 600$ 平方cm。

また、三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times AB \times CD$ でもあるので、$\frac{1}{2} \times 50 \times CD = 600$。

したがって、$CD = \frac{600 \times 2}{50} = \frac{1200}{50} = 24$ cm。

(2) 辺ABが通った後の面積を求める。

辺ABが通った後は、半径がAC=30cmの円と半径がBC=40cmの円で囲まれた部分の面積になる。

したがって、求める面積は、

$\pi \times 40^2 - \pi \times 30^2 = \pi \times (1600 - 900) = 700\pi$ 平方cm。

3. 最終的な答え

(1) CDの長さは24cm。

(2) 辺ABが通ったあとの面積は$700\pi$ 平方cm。