点 $(3, 2)$ から円 $x^2 + y^2 = 4$ に引いた接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $(3, 2)$ から円 $x^2 + y^2 = 4$ に引いた接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

接線の傾きを $m$ とすると、接線の方程式は

$y - 2 = m(x - 3)$

と表せる。変形すると

$y = mx - 3m + 2$

となる。この直線を円 $x^2 + y^2 = 4$ に代入して、

$x^2 + (mx - 3m + 2)^2 = 4$

$x^2 + (m^2x^2 - 6m^2x + 4mx + 9m^2 - 12m + 4) = 4$

$(1 + m^2)x^2 + (-6m^2 + 4m)x + 9m^2 - 12m = 0$

この2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ となることである。

$D = (-6m^2 + 4m)^2 - 4(1 + m^2)(9m^2 - 12m)$

$= 36m^4 - 48m^3 + 16m^2 - 4(9m^2 - 12m + 9m^4 - 12m^3)$

$= 36m^4 - 48m^3 + 16m^2 - 36m^2 + 48m - 36m^4 + 48m^3$

$= -20m^2 + 48m = 0$

$4m(-5m + 12) = 0$

$m = 0, \frac{12}{5}$

したがって、接線の方程式は

$y = 2$

$y = \frac{12}{5}x - \frac{36}{5} + 2$

$5y = 12x - 36 + 10$

$12x - 5y - 26 = 0$

3. 最終的な答え

$y = 2$

$12x - 5y - 26 = 0$