問題は、与えられた2次曲線と直線の共有点の個数を、定数 $k$ の値に応じて調べる問題です。以下の3つの小問があります。 (1) 双曲線 $4x^2 - 9y^2 = 36$ と直線 $x + y = k$ (2) 放物線 $y^2 = -4x$ と直線 $y = 2x + k$ (3) 双曲線 $x^2 - y^2 = 2$ と直線 $y = kx + 2$

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、各小問を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は、与えられた2次曲線と直線の共有点の個数を、定数 $k$ の値に応じて調べる問題です。以下の3つの小問があります。

(1) 双曲線 $4x^2 - 9y^2 = 36$ と直線 $x + y = k$

(2) 放物線 $y^2 = -4x$ と直線 $y = 2x + k$

(3) 双曲線 $x^2 - y^2 = 2$ と直線 $y = kx + 2$

2. 解き方の手順

各小問について、以下の手順で解いていきます。

1. 直線の方程式を2次曲線の方程式に代入して、$x$ または $y$ の2次方程式を導出します。

2. 得られた2次方程式の判別式 $D$ を計算します。

3. 判別式 $D$ の符号に応じて、共有点の個数を判定します。

* $D > 0$ のとき、共有点は2個

* $D = 0$ のとき、共有点は1個

* $D < 0$ のとき、共有点は0個

(1) $4x^2 - 9y^2 = 36$ と $x + y = k$

$y = k - x$ を $4x^2 - 9y^2 = 36$ に代入すると、

$4x^2 - 9(k - x)^2 = 36$

$4x^2 - 9(k^2 - 2kx + x^2) = 36$

$4x^2 - 9k^2 + 18kx - 9x^2 = 36$

$-5x^2 + 18kx - 9k^2 - 36 = 0$

$5x^2 - 18kx + 9k^2 + 36 = 0$

判別式 $D_1 = (-18k)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (9k^2 + 36) = 324k^2 - 180k^2 - 720 = 144k^2 - 720 = 144(k^2 - 5)$

$D_1 > 0$ のとき、$k^2 - 5 > 0$ より $k < -\sqrt{5}$ または $k > \sqrt{5}$。共有点は2個。

$D_1 = 0$ のとき、$k^2 - 5 = 0$ より $k = \pm \sqrt{5}$。共有点は1個。

$D_1 < 0$ のとき、$k^2 - 5 < 0$ より $-\sqrt{5} < k < \sqrt{5}$。共有点は0個。

(2) $y^2 = -4x$ と $y = 2x + k$

$y = 2x + k$ を $y^2 = -4x$ に代入すると、

$(2x + k)^2 = -4x$

$4x^2 + 4kx + k^2 = -4x$

$4x^2 + (4k + 4)x + k^2 = 0$

判別式 $D_2 = (4k + 4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot k^2 = 16(k + 1)^2 - 16k^2 = 16(k^2 + 2k + 1) - 16k^2 = 32k + 16 = 16(2k + 1)$

$D_2 > 0$ のとき、$2k + 1 > 0$ より $k > -\frac{1}{2}$。共有点は2個。

$D_2 = 0$ のとき、$2k + 1 = 0$ より $k = -\frac{1}{2}$。共有点は1個。

$D_2 < 0$ のとき、$2k + 1 < 0$ より $k < -\frac{1}{2}$。共有点は0個。

(3) $x^2 - y^2 = 2$ と $y = kx + 2$

$y = kx + 2$ を $x^2 - y^2 = 2$ に代入すると、

$x^2 - (kx + 2)^2 = 2$

$x^2 - (k^2x^2 + 4kx + 4) = 2$

$x^2 - k^2x^2 - 4kx - 4 = 2$

$(1 - k^2)x^2 - 4kx - 6 = 0$

判別式 $D_3 = (-4k)^2 - 4 \cdot (1 - k^2) \cdot (-6) = 16k^2 + 24(1 - k^2) = 16k^2 + 24 - 24k^2 = -8k^2 + 24 = -8(k^2 - 3)$

$D_3 > 0$ のとき、$k^2 - 3 < 0$ より $-\sqrt{3} < k < \sqrt{3}$。共有点は2個。

$D_3 = 0$ のとき、$k^2 - 3 = 0$ より $k = \pm \sqrt{3}$。共有点は1個。

$D_3 < 0$ のとき、$k^2 - 3 > 0$ より $k < -\sqrt{3}$ または $k > \sqrt{3}$。共有点は0個。

ただし、$1 - k^2 = 0$ つまり $k = \pm 1$ のときは、2次方程式ではなく1次方程式となるので、別途検討が必要です。

$k = 1$ のとき、$-4x - 6 = 0$ より $x = -\frac{3}{2}$。$y = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$。共有点は1個。

$k = -1$ のとき、 $4x - 6 = 0$ より $x = \frac{3}{2}$。$y = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$。共有点は1個。

まとめると、

* $-\sqrt{3} < k < \sqrt{3}$ かつ $k \ne \pm 1$のとき、共有点は2個

* $k = \pm \sqrt{3}$ または $k = \pm 1$ のとき、共有点は1個。

* $k < -\sqrt{3}$ または $k > \sqrt{3}$ のとき、共有点は0個。

3. 最終的な答え

(1)

$k < -\sqrt{5}$ または $k > \sqrt{5}$ のとき、共有点は2個。

$k = \pm \sqrt{5}$ のとき、共有点は1個。

$-\sqrt{5} < k < \sqrt{5}$ のとき、共有点は0個。

(2)

$k > -\frac{1}{2}$ のとき、共有点は2個。

$k = -\frac{1}{2}$ のとき、共有点は1個。

$k < -\frac{1}{2}$ のとき、共有点は0個。

(3)

$-\sqrt{3} < k < \sqrt{3}$ かつ $k \ne \pm 1$のとき、共有点は2個

$k = \pm \sqrt{3}$ または $k = \pm 1$ のとき、共有点は1個。

$k < -\sqrt{3}$ または $k > \sqrt{3}$ のとき、共有点は0個。