(1) 2点(3,1), (-1,4) を通る直線 $l$ のベクトル表示を求める。 (2) 直線 $l$ の法線ベクトルをひとつ求める。 (3) (5,-1)を通り $l$ に垂直な直線 $m$ のベクトル方程式を求める。

## 【問題3-1】

1. 問題の内容

(1) 2点(3,1), (-1,4) を通る直線 $l$ のベクトル表示を求める。

(2) 直線 $l$ の法線ベクトルをひとつ求める。

(3) (5,-1)を通り $l$ に垂直な直線 $m$ のベクトル方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2点を通る直線のベクトル表示は、位置ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ を持つ2点を通る直線 $l$ は、パラメータ $t$ を用いて $\vec{p} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$ と表せる。

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}$ より、

$\vec{p} = (1-t)\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 3t - t \\ 1 - t + 4t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 4t \\ 1 + 3t \end{pmatrix}$

(2) 直線 $l$ の方向ベクトルは、$\vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$ 。

法線ベクトルは、方向ベクトルと直交するベクトルなので、$\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ など。

(3) 直線 $m$ は、点(5,-1)を通り、$l$に垂直なので、直線$m$の方向ベクトルは$l$の法線ベクトルと同じ方向を持つ。したがって、直線$m$のベクトル方程式は、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 4t \\ 1 + 3t \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

## 【問題3-2】

1. 問題の内容

(1) $y = -3x + 1$

(2) $y = x+1$と直交し、点 (2,1)を通る直線。

(3) x軸とのなす角が60°で、点 (0,2) を通る直線。

それぞれのベクトルの表示を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = -3x + 1$ は $3x + y - 1 = 0$ と書き換えられる。

この直線上の点を $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とすると、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$

(2) $y = x + 1$ と直交する直線の傾きは -1 である。

点 (2,1) を通るので、$y - 1 = -1(x - 2)$ より、$y = -x + 3$。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

(3) x軸とのなす角が60°である直線の傾きは $\tan{60^\circ} = \sqrt{3}$ である。

点 (0,2) を通るので、$y = \sqrt{3}x + 2$。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$

## 【問題3-3】

1. 問題の内容

与えられたベクトルの式から、直線の方程式を $ax + by + c = 0$ の形で表す。

2. 解き方の手順

(1) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ より、$x = -1 + 2t$, $y = t$ である。

$t = y$ なので、$x = -1 + 2y$ より、$x - 2y + 1 = 0$

(2) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ より、$x = 4 + 3t$, $y = 1 + 2t$ である。

$2x = 8 + 6t$, $3y = 3 + 6t$ より、$2x - 8 = 6t$, $3y - 3 = 6t$ なので、$2x - 8 = 3y - 3$ より、$2x - 3y - 5 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x - 2y + 1 = 0$

(2) $2x - 3y - 5 = 0$

## 【問題3-4】

1. 問題の内容

直線 $l: 2x+3y+3=0$ 上の点 $P$ で、$A(10,1), B(-1,3)$ に対して $AP+BP$ が最小となる $P$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

点Bの直線lに関する対称点B'を求める。

lの法線ベクトルは $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

直線l上の点をPとすると、$AP+BP = AP+B'P$となる。AP+B'Pが最小となるのは、A,P,B'が一直線上にあるときである。

まず、点B'を求める。BB'の中点をMとする。

Mはl上にあるので、$2x_M+3y_M+3=0$。また、$\vec{BB'} = k\vec{n}$を満たす。

$B' = \begin{pmatrix} -1+2k \\ 3+3k \end{pmatrix}$

MはBB'の中点なので、$M = \begin{pmatrix} \frac{-1+(-1+2k)}{2} \\ \frac{3+(3+3k)}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+k \\ 3+\frac{3}{2}k \end{pmatrix}$

Mはl上にあるので、$2(-1+k) + 3(3+\frac{3}{2}k) + 3 = 0$

$-2+2k+9+\frac{9}{2}k+3=0$

$10 + \frac{13}{2}k = 0$

$k = -\frac{20}{13}$

$B' = \begin{pmatrix} -1+2(-\frac{20}{13}) \\ 3+3(-\frac{20}{13}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1-\frac{40}{13} \\ 3-\frac{60}{13} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{53}{13} \\ -\frac{21}{13} \end{pmatrix}$

直線AB'の方程式を求める。

傾きは $\frac{-\frac{21}{13} - 1}{-\frac{53}{13} - 10} = \frac{-\frac{34}{13}}{-\frac{183}{13}} = \frac{34}{183}$

$y-1 = \frac{34}{183}(x-10)$

$y = \frac{34}{183}x-\frac{340}{183} + 1 = \frac{34}{183}x-\frac{157}{183}$

$2x+3y+3 = 0$と連立する。

$2x + 3(\frac{34}{183}x-\frac{157}{183})+3=0$

$2x + \frac{34}{61}x - \frac{157}{61} + 3 = 0$

$2x + \frac{34}{61}x + \frac{26}{61} = 0$

$122x+34x+26 = 0$

$156x = -26$

$x = -\frac{26}{156} = -\frac{1}{6}$

$2(-\frac{1}{6})+3y+3 = 0$

$-\frac{1}{3}+3y+3 = 0$

$3y = -\frac{8}{3}$

$y = -\frac{8}{9}$

したがって、点Pの座標は$(-\frac{1}{6}, -\frac{8}{9})$

3. 最終的な答え

Pの座標は $(-\frac{1}{6}, -\frac{8}{9})$