$\alpha$ が鋭角、$\beta$ が鈍角で、$\sin \alpha = \frac{1}{7}$, $\sin \beta = \frac{11}{14}$ のとき、$\cos(\alpha + \beta)$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\alpha$ が鋭角、$\beta$ が鈍角で、$\sin \alpha = \frac{1}{7}$, $\sin \beta = \frac{11}{14}$ のとき、$\cos(\alpha + \beta)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos \alpha$ と $\cos \beta$ を求める。

$\alpha$ は鋭角なので、$\cos \alpha > 0$ である。

$\beta$ は鈍角なので、$\cos \beta < 0$ である。

$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ より、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{7})^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$

よって、$\cos \alpha = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{48}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

$\cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1$ より、

$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - (\frac{11}{14})^2 = 1 - \frac{121}{196} = \frac{196 - 121}{196} = \frac{75}{196}$

よって、$\cos \beta = - \sqrt{\frac{75}{196}} = - \frac{\sqrt{75}}{14} = - \frac{5\sqrt{3}}{14}$ ( $\beta$ が鈍角なので負)

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$= \frac{4\sqrt{3}}{7} \times (-\frac{5\sqrt{3}}{14}) - \frac{1}{7} \times \frac{11}{14}$

$= - \frac{20 \times 3}{7 \times 14} - \frac{11}{7 \times 14}$

$= - \frac{60}{98} - \frac{11}{98} = - \frac{71}{98}$

3. 最終的な答え

$\cos(\alpha + \beta) = -\frac{71}{98}$