平面上に点A, Bがあり、$OA=1$, $OB=\sqrt{2}$, $\cos{\angle AOB}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ である。線分ABを1:2に内分する点をPとする。点Aの直線OPに関する対称点をQとし、線分AQと直線OPの交点をHとする。これらの条件の下で、いくつかのベクトルの関係式や比を求める問題です。

はい、この問題を解きましょう。

1. 問題の内容

平面上に点A, Bがあり、$OA=1$, $OB=\sqrt{2}$, $\cos{\angle AOB}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ である。線分ABを1:2に内分する点をPとする。点Aの直線OPに関する対称点をQとし、線分AQと直線OPの交点をHとする。これらの条件の下で、いくつかのベクトルの関係式や比を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ を計算します。

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| |\vec{OB}| \cos{\angle AOB} = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$

次に、点Pは線分ABを1:2に内分するので、

$\vec{OP} = \frac{2\vec{OA} + \vec{OB}}{1+2} = \frac{2}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB}$

点Hは線分AQの中点なので、$\vec{OQ} = \vec{OA} + 2\vec{AH}$

点Hは直線OP上にあるので、実数kを用いて、$\vec{OH} = k\vec{OP}$ と表せる。

また、$\vec{AH} = \vec{OH} - \vec{OA} = k\vec{OP} - \vec{OA} = k(\frac{2}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB}) - \vec{OA} = (\frac{2}{3}k - 1)\vec{OA} + \frac{1}{3}k\vec{OB}$

よって、$\vec{OQ} = \vec{OA} + 2\vec{AH} = \vec{OA} + 2((\frac{2}{3}k - 1)\vec{OA} + \frac{1}{3}k\vec{OB}) = (1 + \frac{4}{3}k - 2)\vec{OA} + \frac{2}{3}k\vec{OB} = (\frac{4}{3}k - 1)\vec{OA} + \frac{2}{3}k\vec{OB}$

ここで、点Qは点Aの直線OPに関する対称点なので、$\vec{OQ} - \vec{OA}$ は $\vec{OP}$ に垂直である。つまり、$(\vec{OQ} - \vec{OA}) \cdot \vec{OP} = 0$

$\vec{OQ} - \vec{OA} = (\frac{4}{3}k - 1)\vec{OA} + \frac{2}{3}k\vec{OB} - \vec{OA} = (\frac{4}{3}k - 2)\vec{OA} + \frac{2}{3}k\vec{OB}$

$((\frac{4}{3}k - 2)\vec{OA} + \frac{2}{3}k\vec{OB}) \cdot (\frac{2}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB}) = 0$

$(\frac{4}{3}k - 2)\frac{2}{3}|\vec{OA}|^2 + (\frac{4}{3}k - 2)\frac{1}{3}\vec{OA} \cdot \vec{OB} + \frac{2}{3}k\frac{2}{3}\vec{OB} \cdot \vec{OA} + \frac{2}{3}k\frac{1}{3}|\vec{OB}|^2 = 0$

$(\frac{4}{3}k - 2)\frac{2}{3} + (\frac{4}{3}k - 2)\frac{1}{3} + \frac{2}{3}k\frac{2}{3} + \frac{2}{3}k\frac{1}{3}2 = 0$

$\frac{8}{9}k - \frac{4}{3} + \frac{4}{9}k - \frac{2}{3} + \frac{4}{9}k + \frac{4}{9}k = 0$

$\frac{20}{9}k = \frac{6}{3} = 2$

$k = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$

したがって、$\vec{AH} = (\frac{2}{3}k - 1)\vec{OA} + \frac{1}{3}k\vec{OB} = (\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10} - 1)\vec{OA} + \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{10}\vec{OB} = (\frac{3}{5} - 1)\vec{OA} + \frac{3}{10}\vec{OB} = -\frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{10}\vec{OB}$

$\vec{OQ} = \vec{OA} + 2\vec{AH} = \vec{OA} + 2(-\frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{10}\vec{OB}) = \vec{OA} - \frac{4}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB} = \frac{1}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}$

よって

$AH = -\frac{2}{5}OA + \frac{3}{10}OB$

$OQ = \frac{1}{5}OA + \frac{3}{5}OB$

$\vec{OR} = s\vec{OQ} = s(\frac{1}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB})$

Rは直線AB上にあるから、$\vec{OR} = t\vec{OA} + (1-t)\vec{OB}$

したがって、

$\frac{s}{5} = t$

$\frac{3s}{5} = 1-t$

$\frac{3s}{5} = 1 - \frac{s}{5}$

$\frac{4s}{5} = 1$

$s = \frac{5}{4}$

$t = \frac{1}{4}$

$\vec{OR} = \frac{1}{4}\vec{OA} + \frac{3}{4}\vec{OB}$

$\frac{PR}{AB} = \frac{||\vec{OR} - \vec{OP}||}{||\vec{OB} - \vec{OA}||}$

3. 最終的な答え

OA.OB = 1

OP = (2/3)OA + (1/3)OB

AH = (-2/5)OA + (3/10)OB

OQ = (1/5)OA + (3/5)OB

OR = (1/4)OA + (3/4)OB

PR/AB = 選択肢より⑤ OP垂直AH