$-\frac{\pi}{2} < \theta < 0$ で $\cos \theta = \frac{1}{3}$ が成り立つとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$-\frac{\pi}{2} < \theta < 0$ で $\cos \theta = \frac{1}{3}$ が成り立つとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な関係式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して、$\sin \theta$ の値を求めます。

$\cos \theta = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$$\sin^2 \theta + \left( \frac{1}{3} \right)^2 = 1$$

$$\sin^2 \theta + \frac{1}{9} = 1$$

$$\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$$

したがって、$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$ です。

$-\frac{\pi}{2} < \theta < 0$ より、$\sin \theta < 0$ なので、$\sin \theta = - \frac{2\sqrt{2}}{3}$ です。

次に、$\tan \theta$ の値を求めます。$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ なので、

$$\tan \theta = \frac{- \frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = -2\sqrt{2}$$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = - \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = -2\sqrt{2}$