空間内に4点O, A, B, Cがあり、ベクトル $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ が張る平行六面体Kの体積をVとする。 $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$ と $\overrightarrow{OC}$ のなす角を $\theta$ とする。$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ が張る平行四辺形を底面とみるときの、平行六面体Kの高さは $|\overrightarrow{OC}|\cdot|\cos\theta|$ であることを示す。

1. 問題の内容

空間内に4点O, A, B, Cがあり、ベクトル $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ が張る平行六面体Kの体積をVとする。

$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$ と $\overrightarrow{OC}$ のなす角を $\theta$ とする。$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ が張る平行四辺形を底面とみるときの、平行六面体Kの高さは $|\overrightarrow{OC}|\cdot|\cos\theta|$ であることを示す。

2. 解き方の手順

平行六面体の体積Vは、底面積と高さの積で表される。底面積は、ベクトル $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ が張る平行四辺形の面積であるから、

底面積 = $|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}|$

である。

一方、$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$ は底面に垂直なベクトルである。$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$ と $\overrightarrow{OC}$ のなす角が$\theta$であるので、$\overrightarrow{OC}$ の $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$ 方向への正射影の大きさ（＝高さ）は $|\overrightarrow{OC}| \cdot |\cos \theta|$ で表される。

平行六面体 K の体積 V は、

$V = (底面積) \times (高さ) = |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}| \cdot |\overrightarrow{OC}| \cdot |\cos \theta|$

となる。

したがって、$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ が張る平行四辺形を底面とみるときの、平行六面体Kの高さは $|\overrightarrow{OC}| \cdot |\cos \theta|$ である。

3. 最終的な答え

平行六面体Kの高さは $|\overrightarrow{OC}|\cdot|\cos\theta|$ である。