平面上に点O, A, Bがあり、$OA = 1$, $OB = \sqrt{2}$, $\cos{\angle AOB} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ である。辺ABを1:2に内分する点をPとする。内積 $OA \cdot OB$ の値を求め、$OP$を$\vec{OA}, \vec{OB}$を用いて表す。次に、直線OPに関して点Aと対称な点をQとし、線分AQと直線OPの交点をHとする。$\vec{OQ}$を$\vec{OA}, \vec{OB}$を用いて表す。点Hは直線OP上にあることから、実数$k$を用いて$\vec{OH} = k \vec{OP}$と表される。これより$\vec{AH}$を$\vec{OA}, \vec{OB}$と$k$を用いて表す。

## 解答

1. 問題の内容

平面上に点O, A, Bがあり、$OA = 1$, $OB = \sqrt{2}$, $\cos{\angle AOB} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ である。辺ABを1:2に内分する点をPとする。内積 $OA \cdot OB$ の値を求め、$OP$を$\vec{OA}, \vec{OB}$を用いて表す。次に、直線OPに関して点Aと対称な点をQとし、線分AQと直線OPの交点をHとする。$\vec{OQ}$を$\vec{OA}, \vec{OB}$を用いて表す。点Hは直線OP上にあることから、実数$k$を用いて$\vec{OH} = k \vec{OP}$と表される。これより$\vec{AH}$を$\vec{OA}, \vec{OB}$と$k$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) $OA \cdot OB$ の計算

内積の定義より、

$OA \cdot OB = |OA| \cdot |OB| \cdot \cos{\angle AOB} = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

(2) $OP$ の計算

点PはABを1:2に内分する点なので、

$\vec{OP} = \frac{2\vec{OA} + \vec{OB}}{1+2} = \frac{2}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB}$

(3) $\vec{OQ}$ の計算

点Hは線分AQの中点であるから、

$\vec{OH} = \frac{\vec{OA} + \vec{OQ}}{2}$

$\vec{OQ} = 2\vec{OH} - \vec{OA}$

ここで、HはOP上にあるから、実数$k$を用いて$\vec{OH} = k\vec{OP}$と表される。

$\vec{OQ} = 2k\vec{OP} - \vec{OA}$

$\vec{OP} = \frac{2}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB}$を代入して

$\vec{OQ} = 2k(\frac{2}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB}) - \vec{OA} = (\frac{4}{3}k - 1)\vec{OA} + \frac{2}{3}k \vec{OB}$

また、QはAとOPに関して対称な点なので、AQはOPと直交する。したがって、$\vec{AQ} \cdot \vec{OP} = 0$

$\vec{AQ} = \vec{OQ} - \vec{OA} = (\frac{4}{3}k - 2)\vec{OA} + \frac{2}{3}k \vec{OB}$

$\vec{AQ} \cdot \vec{OP} = ((\frac{4}{3}k - 2)\vec{OA} + \frac{2}{3}k \vec{OB}) \cdot (\frac{2}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB}) = 0$

$\frac{2}{3}(\frac{4}{3}k - 2)|\vec{OA}|^2 + (\frac{4}{9}k - \frac{4}{9} + \frac{2}{9}k)(\vec{OA} \cdot \vec{OB}) + \frac{2}{9}k |\vec{OB}|^2 = 0$

$\frac{2}{3}(\frac{4}{3}k - 2) + (\frac{6}{9}k - \frac{4}{9})\frac{1}{2} + \frac{2}{9}k(2) = 0$

$\frac{8}{9}k - \frac{4}{3} + \frac{3}{9}k - \frac{2}{9} + \frac{4}{9}k = 0$

$\frac{15}{9}k = \frac{14}{9}$

$k = \frac{14}{15}$

(4) $\vec{AH}$ の計算

$\vec{AH} = \vec{OH} - \vec{OA} = k\vec{OP} - \vec{OA} = k(\frac{2}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB}) - \vec{OA} = (\frac{2}{3}k - 1)\vec{OA} + \frac{1}{3}k \vec{OB}$

$k = \frac{14}{15}$を代入して

$\vec{AH} = (\frac{2}{3} \cdot \frac{14}{15} - 1)\vec{OA} + \frac{1}{3}\cdot \frac{14}{15} \vec{OB} = (\frac{28}{45} - 1)\vec{OA} + \frac{14}{45}\vec{OB} = -\frac{17}{45} \vec{OA} + \frac{14}{45}\vec{OB}$

$\vec{AH} = (\frac{-17}{45})\vec{OA} + (\frac{14}{45}) \vec{OB}$

$\vec{AH} = (\frac{2k-3}{3}) \vec{OA} + \frac{k}{3} \vec{OB}$

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 2

ウ: 2

エ: 3

オ: 1

カ: 3

キ: 2

ク: 2

ケ: 3

コ: 3

サ: 1

シ: 3

$\vec{AH} = (\frac{2k-3}{3}) \vec{OA} + \frac{k}{3} \vec{OB}$