方程式 $x^2 + y^2 + 2ax - 4ay + 6a^2 - 2a - 3 = 0$ が円を表すとき、この円の中心 $C$ の軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

方程式 $x^2 + y^2 + 2ax - 4ay + 6a^2 - 2a - 3 = 0$ が円を表すとき、この円の中心 $C$ の軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を円の方程式の標準形 $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ の形に変形します。ここで、$(h,k)$ が円の中心、 $r$ が半径です。

$x^2 + y^2 + 2ax - 4ay + 6a^2 - 2a - 3 = 0$

$(x^2 + 2ax) + (y^2 - 4ay) + 6a^2 - 2a - 3 = 0$

平方完成を行うと、

$(x^2 + 2ax + a^2) + (y^2 - 4ay + 4a^2) + 6a^2 - 2a - 3 - a^2 - 4a^2 = 0$

$(x + a)^2 + (y - 2a)^2 = -a^2 + 2a + 3$

ここで、この方程式が円を表すためには、右辺が正である必要があります。

$-a^2 + 2a + 3 > 0$

$a^2 - 2a - 3 < 0$

$(a - 3)(a + 1) < 0$

$-1 < a < 3$

円の中心 $C$ の座標は $(-a, 2a)$ です。

$x = -a$ とおくと、$a = -x$

$y = 2a = 2(-x) = -2x$

したがって、円の中心の軌跡は $y = -2x$ です。

ただし、$-1 < a < 3$ より、

$-1 < -x < 3$

$-3 < x < 1$

3. 最終的な答え

円の中心の軌跡は直線 $y = -2x$ の $-3 < x < 1$ の部分です。