三角形ABCにおいて、$AB=3$, $BC=5$, $\angle ABC = 120^\circ$である。この三角形ABCの外接円上に点Pを取り、四角形ABCPを作る。 (1) 辺ACの長さを求める。 (2) 辺CPの長さの最大値を求める。 (3) 辺ABと辺CPが平行になるときのCPの長さを求める。 (4) 四角形ABCPの面積が最大になる時のCPの長さを求め、その最大値を求める。さらに、このときACとBPの交点をQとすると、AQを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=3$, $BC=5$, $\angle ABC = 120^\circ$である。この三角形ABCの外接円上に点Pを取り、四角形ABCPを作る。

(1) 辺ACの長さを求める。

(2) 辺CPの長さの最大値を求める。

(3) 辺ABと辺CPが平行になるときのCPの長さを求める。

(4) 四角形ABCPの面積が最大になる時のCPの長さを求め、その最大値を求める。さらに、このときACとBPの交点をQとすると、AQを求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いてACの長さを求める。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos{120^\circ}$

$AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (-\frac{1}{2}) = 9 + 25 + 15 = 49$

$AC = \sqrt{49} = 7$

(2) 正弦定理より$\frac{AC}{\sin{\angle ABC}} = 2R$ (Rは外接円の半径)

$2R = \frac{7}{\sin{120^\circ}} = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}}$

$R = \frac{7}{\sqrt{3}}$

CPが最大になるのは、CPが円の直径となるときなので、

$CP_{max} = 2R = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3}$

(3) ABとCPが平行になるとき、四角形ABCPは等脚台形になる。この時、$\angle BAC = \theta$とすると、余弦定理より

$\cos{\theta} = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2AB \cdot AC} = \frac{3^2 + 7^2 - 5^2}{2 \cdot 3 \cdot 7} = \frac{9 + 49 - 25}{42} = \frac{33}{42} = \frac{11}{14}$

正弦定理より

$\frac{BC}{\sin{\theta}} = 2R = \frac{14}{\sqrt{3}}$

$\sin{\theta} = \frac{5 \sqrt{3}}{14}$

このとき、$\angle ACB = 180^\circ - (120^\circ + \theta)$となる。

$\angle ABC + \angle APC = 180^\circ$より、$\angle APC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

また、$\angle BAC + \angle BPC = 180^\circ$より、$\angle BPC = 180^\circ - \theta$

$\triangle BPC$に余弦定理を用いると

$CP^2 = BP^2 + BC^2 - 2BP \cdot BC \cdot \cos{\angle PBC}$

ABとCPが平行なので、$\angle BAC = \angle PCA = \theta$となる。

$\angle BPC = 180^\circ - \theta$となる。

$CP = AB = 3$

(4) 四角形ABCPの面積は、三角形ABCと三角形ACPの面積の和となる。

$\frac{1}{2} AB \cdot BC \sin{120^\circ} + \frac{1}{2} AC \cdot CP \sin{\angle ACP}$

$=\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot CP \sin{\angle ACP}$

$=\frac{15\sqrt{3}}{4} + \frac{7}{2} CP \sin{\angle ACP}$

$CP = \frac{14\sqrt{3}}{3}$の時、$\angle ACP = 90^\circ$となり、$\sin{\angle ACP} = 1$

面積$= \frac{15\sqrt{3}}{4} + \frac{7}{2} \frac{14\sqrt{3}}{3} = \frac{15\sqrt{3}}{4} + \frac{49\sqrt{3}}{3} = \frac{45\sqrt{3} + 196\sqrt{3}}{12} = \frac{241\sqrt{3}}{12}$

四角形ABCPの面積が最大になるのはCPが最大となる時、即ち、CPが直径の時である。

$\angle CAP = \angle CBP = 90^\circ$

$CP = \frac{14\sqrt{3}}{3}$のとき、四角形ABCPの面積は$\frac{241\sqrt{3}}{12}$となる。

$CP=\frac{14\sqrt{3}}{3}$のとき、四角形ABCPの面積は最大となる。

ACとBPの交点をQとする。$\triangle ABQ$と$\triangle CPQ$は相似である。

$AQ:CQ = AB:CP = 3:\frac{14\sqrt{3}}{3} = 9:14\sqrt{3}$

$AQ + CQ = AC = 7$

$AQ = \frac{9}{9+14\sqrt{3}} AC = \frac{9}{9+14\sqrt{3}} \cdot 7 = \frac{63}{9+14\sqrt{3}} = \frac{63(9-14\sqrt{3})}{81 - 14^2 \cdot 3} = \frac{63(9-14\sqrt{3})}{81-588} = \frac{63(9-14\sqrt{3})}{-507} = \frac{-63(9-14\sqrt{3})}{507} = \frac{-21(9-14\sqrt{3})}{169}$

1. 問題の内容

三角形ABCの外接円上の点に関する問題。辺ACの長さ、CPの最大値、ABとCPが平行なときのCPの長さ、四角形ABCPの面積が最大になる時のCPの長さと最大値、ACとBPの交点QについてAQの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いてACの長さを計算する。

(2) 外接円の半径を計算し、CPの最大値を求める。

(3) ABとCPが平行なときのCPの長さを求める。

(4) 四角形ABCPの面積が最大になるCPの長さを求める。この時、面積の最大値を計算し、AQの長さを計算する。

3. 最終的な答え

ア: 7

イウ: 14, エ: 3, オ: 3

カ: 3

キ: $\frac{14\sqrt{3}}{3}$, クケ: 24, コ: 3

サシ: 63, ス: 9+14$\sqrt{3}$

最終的な答え(簡略化):

ア: 7

イウ: 14, エ: 3, オ: 3

カ: 3

キ: $\frac{14\sqrt{3}}{3}$, クケ: $\frac{241\sqrt{3}}{12}$

サシ: 63, ス: 9+14$\sqrt{3}$