画像にある数学の問題のうち、以下の2問を解きます。 * **基本10-2 (2)**: $\triangle ABC$において、$BC = 5\sqrt{3}, A = 60^\circ$のとき、$AC = 2\sqrt{3}$ならば、$\sin B$の値を求めよ。 * **基本10-3**: $\triangle ABC$において、$BC = 2\sqrt{2}, CA = 3, C = 135^\circ$のとき、$AB$を求めよ。 * **基本10-4**: $AB = 3, AC = 2, A = 120^\circ$である$\triangle ABC$の面積$S$を求めよ。

1. 問題の内容

画像にある数学の問題のうち、以下の2問を解きます。

* **基本10-2 (2)**: $\triangle ABC$において、$BC = 5\sqrt{3}, A = 60^\circ$のとき、$AC = 2\sqrt{3}$ならば、$\sin B$の値を求めよ。

* **基本10-3**: $\triangle ABC$において、$BC = 2\sqrt{2}, CA = 3, C = 135^\circ$のとき、$AB$を求めよ。

* **基本10-4**: $AB = 3, AC = 2, A = 120^\circ$である$\triangle ABC$の面積$S$を求めよ。

2. 解き方の手順

**基本10-2 (2)の解き方**

正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

が成り立ちます。

この式に、$BC = 5\sqrt{3}, A = 60^\circ, AC = 2\sqrt{3}$を代入します。

$\frac{5\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin B}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$であるから、

$\frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin B}$

$10 = \frac{2\sqrt{3}}{\sin B}$

$\sin B = \frac{2\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{5}$

**基本10-3の解き方**

余弦定理より、

$AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2BC \cdot CA \cos C$

が成り立ちます。

この式に、$BC = 2\sqrt{2}, CA = 3, C = 135^\circ$を代入します。$\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$であるから、

$AB^2 = (2\sqrt{2})^2 + 3^2 - 2(2\sqrt{2})(3) \cos 135^\circ$

$AB^2 = 8 + 9 - 12\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$AB^2 = 17 + 12 = 29$

$AB = \sqrt{29}$

**基本10-4の解き方**

三角形の面積の公式より、

$S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \sin A$

が成り立ちます。

この式に、$AB = 3, AC = 2, A = 120^\circ$を代入します。$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$であるから、

$S = \frac{1}{2}(3)(2) \sin 120^\circ$

$S = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

* 基本10-2 (2): $\sin B = \frac{\sqrt{3}}{5}$

* 基本10-3: $AB = \sqrt{29}$

* 基本10-4: $S = \frac{3\sqrt{3}}{2}$