$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ のうち、1つの値が与えられたときに、残りの2つの値を求める問題です。ただし、$\theta$ の動径が含まれる象限が指定されています。ここでは、(1)から(4)の問題のうち(1)と(2)を解きます。

1. 問題の内容

$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ のうち、1つの値が与えられたときに、残りの2つの値を求める問題です。ただし、$\theta$ の動径が含まれる象限が指定されています。ここでは、(1)から(4)の問題のうち(1)と(2)を解きます。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{3}{4}$ (第2象限)

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

$\cos^2 \theta = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{7}{16}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\theta$ は第2象限にあるので、$\cos \theta < 0$。よって、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}} = -\frac{3}{\sqrt{7}} = -\frac{3\sqrt{7}}{7}$

(2) $\sin \theta = -\frac{12}{13}$ (第3象限)

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

$\cos^2 \theta = 1 - (-\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{25}{169}} = \pm \frac{5}{13}$

$\theta$ は第3象限にあるので、$\cos \theta < 0$。よって、$\cos \theta = -\frac{5}{13}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta = -\frac{\sqrt{7}}{4}$, $\tan \theta = -\frac{3\sqrt{7}}{7}$

(2) $\cos \theta = -\frac{5}{13}$, $\tan \theta = \frac{12}{5}$