次の等式を証明する。 (1) $\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} + \frac{1}{\tan \theta} = \frac{1}{\sin \theta}$ (2) $(\tan \theta + 1)^2 + (1 - \tan \theta)^2 = \frac{2}{\cos^2 \theta}$

1. 問題の内容

次の等式を証明する。

(1) $\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} + \frac{1}{\tan \theta} = \frac{1}{\sin \theta}$

(2) $(\tan \theta + 1)^2 + (1 - \tan \theta)^2 = \frac{2}{\cos^2 \theta}$

2. 解き方の手順

(1) 左辺を変形して右辺と一致することを示す。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ より、$\frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ である。

左辺 = $\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$

$= \frac{\sin^2 \theta + \cos \theta(1+\cos \theta)}{(1+\cos \theta)\sin \theta}$

$= \frac{\sin^2 \theta + \cos \theta + \cos^2 \theta}{(1+\cos \theta)\sin \theta}$

$= \frac{1 + \cos \theta}{(1+\cos \theta)\sin \theta}$

$= \frac{1}{\sin \theta}$ = 右辺

(2) 左辺を変形して右辺と一致することを示す。

$(\tan \theta + 1)^2 + (1 - \tan \theta)^2 = (\tan^2 \theta + 2\tan \theta + 1) + (1 - 2\tan \theta + \tan^2 \theta)$

$= 2\tan^2 \theta + 2$

$= 2(\tan^2 \theta + 1)$

$= 2(\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + 1)$

$= 2(\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta})$

$= 2(\frac{1}{\cos^2 \theta})$

$= \frac{2}{\cos^2 \theta}$ = 右辺

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} + \frac{1}{\tan \theta} = \frac{1}{\sin \theta}$ は証明された。

(2) $(\tan \theta + 1)^2 + (1 - \tan \theta)^2 = \frac{2}{\cos^2 \theta}$ は証明された。