三角形ABCにおいて、以下の条件が成り立つとき、それぞれどのような三角形であるかを答える問題です。 (1) $a\cos B = b\cos A$ (2) $\sin A = \cos B \sin C$ (3) $a\cos A + b\cos B = c\cos C$

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下の条件が成り立つとき、それぞれどのような三角形であるかを答える問題です。

(1) $a\cos B = b\cos A$

(2) $\sin A = \cos B \sin C$

(3) $a\cos A + b\cos B = c\cos C$

2. 解き方の手順

(1)

正弦定理より、$a = 2R\sin A$、$b = 2R\sin B$ (Rは外接円の半径)

これらを式に代入すると、

$2R\sin A \cos B = 2R\sin B \cos A$

$\sin A \cos B = \sin B \cos A$

$\sin A \cos B - \sin B \cos A = 0$

$\sin(A-B) = 0$

$A-B = 0$

$A = B$

したがって、三角形ABCは$A=B$の二等辺三角形です。

(2)

正弦定理より、$\sin A = \frac{a}{2R}$、$\sin C = \frac{c}{2R}$ (Rは外接円の半径)

これらを式に代入すると、

$\frac{a}{2R} = \cos B \frac{c}{2R}$

$a = c \cos B$

余弦定理より、$\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$

これを代入すると、

$a = c \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$

$a = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2a}$

$2a^2 = c^2 + a^2 - b^2$

$a^2 + b^2 = c^2$

したがって、三角形ABCは$C = 90^{\circ}$の直角三角形です。

(3)

余弦定理より、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$、 $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$、 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

したがって、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$、 $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$、 $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

与えられた式に代入すると、

$a(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}) + b(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}) = c(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab})$

両辺に$2abc$をかけると、

$a^2(b^2 + c^2 - a^2) + b^2(a^2 + c^2 - b^2) = c^2(a^2 + b^2 - c^2)$

$a^2b^2 + a^2c^2 - a^4 + a^2b^2 + b^2c^2 - b^4 = a^2c^2 + b^2c^2 - c^4$

$2a^2b^2 - a^4 - b^4 = -c^4$

$c^4 = a^4 + b^4 - 2a^2b^2$

$c^4 = (a^2 - b^2)^2$

$c^2 = |a^2 - b^2|$

$c^2 = a^2 - b^2$ または $c^2 = b^2 - a^2$

$a^2 = b^2 + c^2$ または $b^2 = a^2 + c^2$

したがって、三角形ABCは$A=90^{\circ}$または$B=90^{\circ}$の直角三角形です。

3. 最終的な答え

(1) $A=B$の二等辺三角形

(2) $C=90^{\circ}$の直角三角形

(3) $A=90^{\circ}$または$B=90^{\circ}$の直角三角形